Géométrie analytique : Exercice 12 2ème année secondaire
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76 exercices
Exercice 12 --- (id : 835)
correction
1
a
$\Delta: 2x-y+4=0$ donc $\overrightarrow{u}\left({\begin{aligned}&{1}\\&{2}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur directeur de $\Delta$
Vérifions l'orthogonalité des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{BC}\left({\begin{aligned}&{-8}\\&{4}\end{aligned}}\right)$
$aa'+bb'=1\times (-8)+2\times 4=-8+8=0$ donc les deux vecteurs sont orthogonaux et par suite les droites $\Delta$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Vérifions que la droite $\Delta$ passe par $B*C$ le milieu de $[BC]$
$B*C(-2;0)$: $2\times (-2)-0+4=-4+4=0$ donc $B*C\in \Delta$
$\Delta \perp (BC)$ et $B*C\in \Delta$ donc $\Delta$ est la médiatrice de $[BC]$
Vérifions l'orthogonalité des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{BC}\left({\begin{aligned}&{-8}\\&{4}\end{aligned}}\right)$
$aa'+bb'=1\times (-8)+2\times 4=-8+8=0$ donc les deux vecteurs sont orthogonaux et par suite les droites $\Delta$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Vérifions que la droite $\Delta$ passe par $B*C$ le milieu de $[BC]$
$B*C(-2;0)$: $2\times (-2)-0+4=-4+4=0$ donc $B*C\in \Delta$
$\Delta \perp (BC)$ et $B*C\in \Delta$ donc $\Delta$ est la médiatrice de $[BC]$
b
On note $D$ la médiatrice de $[AC]$
$\overrightarrow{AC}\left({\begin{aligned}&{-9}\\&{-3}\end{aligned}}\right)=-3\left({\begin{aligned}&{3}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left({\begin{aligned}&{3}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal pour la médiatrice $D$ alors $D: 3x+y+c=0$ où $c$ est un réel.
$A*C\left({-\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}}\right)\in D$ $\iff 3\left({-\dfrac{3}{2}}\right)+\dfrac{7}{2}+c=0$ $\iff c=1$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$D: 3x+y+1=0$}$
$\overrightarrow{AC}\left({\begin{aligned}&{-9}\\&{-3}\end{aligned}}\right)=-3\left({\begin{aligned}&{3}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left({\begin{aligned}&{3}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal pour la médiatrice $D$ alors $D: 3x+y+c=0$ où $c$ est un réel.
$A*C\left({-\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}}\right)\in D$ $\iff 3\left({-\dfrac{3}{2}}\right)+\dfrac{7}{2}+c=0$ $\iff c=1$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$D: 3x+y+1=0$}$
2
$I(x;y)\in \Delta\cap D$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2x-y+4=0}\\&{3x+y+1=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{5x+5=0}\\&{y=2x+4}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-1}\\&{y=2}\end{aligned}}\right.$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$I(-1;2)$}$
Le cercle $𝒞$ passe par les points $A,B\;et\;C$ donc son rayon $R=IA=IB=IC$ $\Longrightarrow R=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{25}=5$ alors $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$R=5$}$
Le cercle $𝒞$ passe par les points $A,B\;et\;C$ donc son rayon $R=IA=IB=IC$ $\Longrightarrow R=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{25}=5$ alors $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$R=5$}$