Géométrie analytique : Exercice 9 2ème année secondaire
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Exercice 9 --- (id : 763)
correction
a
Soit $\Delta$ la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$
$\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-5}\\&{-3}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal à $\Delta$ donc $\Delta : -5x-3y+c=0$
$A(4;3)\in\Delta$ $\iff -5\times 4-3\times 3+c=0$ $\iff c=c=29$
Donc $\Delta : -5x-3y+29=0$ $\iff \colorbox{SaddleBrown}{$\Delta : 5x+3y-29=0$}$
$C(x;y)\in \Delta \cap d$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2x-y+6=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{6x-3y+18=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{11x-11=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{11}{11}=1}\\&{y=\dfrac{1}{3}(29-5x)=8}\end{aligned}}\right.$ Donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{C(1;8)}$
$\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-5}\\&{-3}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal à $\Delta$ donc $\Delta : -5x-3y+c=0$
$A(4;3)\in\Delta$ $\iff -5\times 4-3\times 3+c=0$ $\iff c=c=29$
Donc $\Delta : -5x-3y+29=0$ $\iff \colorbox{SaddleBrown}{$\Delta : 5x+3y-29=0$}$
$C(x;y)\in \Delta \cap d$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2x-y+6=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{6x-3y+18=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{11x-11=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{11}{11}=1}\\&{y=\dfrac{1}{3}(29-5x)=8}\end{aligned}}\right.$ Donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{C(1;8)}$
b
🔸$AB=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}$ $=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
🔸$BC=\sqrt{(1-(-1))^2+(8-0)^2}$ $=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$
🔸$CA=\sqrt{(1-4)^2+(8-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
Périmètre $=AB+BC+CA=2\sqrt{34}+2\sqrt{17}$
Aire $=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{34}\sqrt{34}}{2}=17$
🔸$BC=\sqrt{(1-(-1))^2+(8-0)^2}$ $=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$
🔸$CA=\sqrt{(1-4)^2+(8-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
Périmètre $=AB+BC+CA=2\sqrt{34}+2\sqrt{17}$
Aire $=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{34}\sqrt{34}}{2}=17$
c
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ donc le milieu du segment $[BC]$ est le centre de son cercle circonscrit $𝒞$.
$I=B*C$ le milieu de $[BC]$ admet pour coordonnées $(0;4)$ Alors $𝒞$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $IA=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{17}$
$𝒞 : (x-0)^2+(y-4)^2=(\sqrt{17})^2$ $\iff \fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$𝒞 : x^2+(y-4)^2=17$}$
$I=B*C$ le milieu de $[BC]$ admet pour coordonnées $(0;4)$ Alors $𝒞$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $IA=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{17}$
$𝒞 : (x-0)^2+(y-4)^2=(\sqrt{17})^2$ $\iff \fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$𝒞 : x^2+(y-4)^2=17$}$