Géométrie analytique : Exercice 4 2ème année secondaire

a $$\begin{align*} &x^2+y^2-4x+2y-20=0\\ \iff &(x2-4x)+(y^2+2y)-20=0\\ \iff &((x-2)^2-4)+((y+1)^2-1)-20=0\\ \iff &(x-2)^2+(y+1)^2=25=5^2 \end{align*}$$ Donc $(\Gamma)$ est le cercle de centre $A(2;-1)$ et de rayon $5$

b $$\begin{align*} &\left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(x-2)^2+(y+1)^2=25}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(-2-2)^2+(y+1)^2=25}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(y+1)^2-9=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(y+1)^2-3^2=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(y+1-3)(y+1+3)=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{(y-2)(y+4)=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{y-2=0\;ou\;y+4=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-2}\\&{y=2\;ou\;y=-4}\end{aligned}}\right.\\ \end{align*}$$ Donc les points du cercle $(\Gamma)$ qui ont pour abscisse $-2$ sont : $A(-2;2)$ et $B(-2;-4)$

c $$\begin{align*} &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{(x-2)^2+(y+1)^2=25}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{(x-2)^2+(0+1)^2=25}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{(x-2)^2-24=0}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{(x-2)^2-(2\sqrt{6})^2=0}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{(x-2-2\sqrt{6})(x-2+2\sqrt{6})=0}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{x-2-2\sqrt{6}=0\;ou\;x-2+2\sqrt{6}=0}\end{aligned}}\right.\\ &\left\{{\begin{aligned}&{y=0}\\&{x=2+2\sqrt{6}\;ou\;x=2-2\sqrt{6}}\end{aligned}}\right.\\ \end{align*}$$ Donc les points du cercle $(\Gamma)$ qui ont pour ordonnée $0$ sont : $C(2+2\sqrt{6};0)$ et $D(2-2\sqrt{6};0)$