Géométrie analytique : Exercice 3 2ème année secondaire
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Exercice 3 --- (id : 759)
correction
a
$d(A,M)=\sqrt{(4-2)^2+(1-0)^2}$ $=\sqrt{5} > R=2$ donc le point $M$ est extérieur à $C$
b
La droite T: $ax+by+c=0$ passe par le point $M(4,1)$ $\iff 4a+b+c=0$ $\iff c=-4a-b$
La droite T est tangente au cercle $C$ $\iff d(A,T)=2$ $\iff \dfrac{|a\times 2+b\times 0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ $\iff \dfrac{|a\times 2+b\times 0-4a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ $\iff |-2a-b|=2\sqrt{a^2+b^2}$ $\iff (2a+b)^2=4(a^2+b^2)$ $\iff 4a^2+4ab+b^2=4a^2+4b^2$ $\iff 3b^2-4ab=0$ $\iff b(3b-4a)=0$ $\iff b=0$ ou $b=\dfrac{4}{3}a$
🔸Pour $b=0$ (donc $a\neq 0$)
T: $ax+0\times y+(-4a-0)=0$ $\iff T: a(x-4)=0$ $\iff \boxed{T: x-4=0}$
🔸Pour $b=\dfrac{4}{3}a$ (dans ce cas $a\neq 0$ sinon $a=b=0$ impossible)
$T: ax+(\dfrac{4}{3}a)y+(-4a-\dfrac{4}{3}a)=0$ $\iff ax+\dfrac{4}{3}ay-\dfrac{16}{3}a=0$ $\iff a(x+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{16}{3})=0$ $\iff x+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{16}{3}=0$ $\iff 3x+4y-16=0$ donc $\boxed{T: 3x+4y-16=0}$
La droite T est tangente au cercle $C$ $\iff d(A,T)=2$ $\iff \dfrac{|a\times 2+b\times 0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ $\iff \dfrac{|a\times 2+b\times 0-4a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ $\iff |-2a-b|=2\sqrt{a^2+b^2}$ $\iff (2a+b)^2=4(a^2+b^2)$ $\iff 4a^2+4ab+b^2=4a^2+4b^2$ $\iff 3b^2-4ab=0$ $\iff b(3b-4a)=0$ $\iff b=0$ ou $b=\dfrac{4}{3}a$
🔸Pour $b=0$ (donc $a\neq 0$)
T: $ax+0\times y+(-4a-0)=0$ $\iff T: a(x-4)=0$ $\iff \boxed{T: x-4=0}$
🔸Pour $b=\dfrac{4}{3}a$ (dans ce cas $a\neq 0$ sinon $a=b=0$ impossible)
$T: ax+(\dfrac{4}{3}a)y+(-4a-\dfrac{4}{3}a)=0$ $\iff ax+\dfrac{4}{3}ay-\dfrac{16}{3}a=0$ $\iff a(x+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{16}{3})=0$ $\iff x+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{16}{3}=0$ $\iff 3x+4y-16=0$ donc $\boxed{T: 3x+4y-16=0}$