Questions mathématiques diverses

Question 1:
Simplifier
$\sqrt{\sin^4 x+4\cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x+4\sin^2 x}$

Question 2:
Sans utiliser la regle de l'Hopital, calculer la limite suivante
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}}{x^2}$

Question 3:
Déterminer un argument du nombre complexe suivant :
$Z=\dfrac{1+\sin \dfrac{\pi}{3}+i\cos \dfrac{\pi}{3}}{1+\sin \dfrac{\pi}{3}-i\cos \dfrac{\pi}{3}}$

Question 4:
Soit le nombre rationnel $X=01234512345...$
$X$ est défini par la donnée de son développement décimal périodique.
Donner l'écriture de $X$ sous la forme d'une fraction.

Question 5:
La moyenne de $41$ nombres impairs consécutifs est $49$.
Quel est le plus grand de ces nombres?

Question 6:
Calculer : $I=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}dx$

Question 7:
Dans une salle il y a $100$ personnes dont $99\%$ sont des hommes. Combien d'hommes doivent quitter la salle pour que le pourcentage des hommes atteint $98\%$

Question 8:
Soit $t$ une solution complexe de l'équation :
$z^n+z^{n-1}+...+z+1=0$
Calculer $A=\dfrac{(t^{2n+2}+3)(4-t^{3n+3})}{4}$

Question 9:
Soit $\alpha$, $\beta$ deux solutions de l'équation $x^2+px-q=0$ et $\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+px+r=0$ avec $q+r\neq 0$
Montrer que : $\dfrac{(\alpha-\gamma)(\alpha-\delta)}{(\beta-\gamma)(\beta-\delta)}=1$

Question 10:
Soit $p$ et $q$ deux réels tels que :
$2p^2+3p+1=0$ et $q^2+3q+2=0$ où $pq\neq 1$
Sans calculer les valeurs de $p$ et $q$, déterminer le réel $X=\dfrac{pq+p+1}{q}$