Questions mathématiques diverses

Question 81:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
$\mathscr{C}$ un cercle tangent aux deux axes du repère en $A$ et $B$ et situé dans le quart du plan $\left\{{(x,y)/ x\geqslant0\;et\;y\geqslant0 }\right\}$.
$M(a,b)$ un point du cercle $\mathscr{C}$ tel que $d(M,(AB))=11$
Calculer $a\times b$

Question 82:
(Une propriété de l'intégrale)
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
Sans utiliser un changement de variable, Montrer que : $\int_{a}^{b}{f(a+b-x)\,dx}=\int_{a}^{b}{f(x)\,dx}$

Question 83:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\prod\limits_{k=1}^{n}{\tan\left({\dfrac{k\pi}{2n}}\right)}}\right)^{\tfrac{1}{n}}$

Question 84:
Calculer l'intégrale suivante :
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left({\cos^2(\sin x)+\sin^2(\cos x)}\right)dx}$

Question 85:
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a^2+b^2+2b\neq 0$
Montrer que si on a $\left\{{\begin{aligned}&{\sin x+\sin y=a}\\&{\cos x+\cos y=b}\end{aligned}}\right.$
Alors $\tan \dfrac{x}{2}$ et $\tan \dfrac{y}{2}$ sont les deux solutions de l'équation $(E):(a^2+b^2+2b)t^2-4at+(a^2+b^2-2b)=0$

Question 86:
Soit $ABC$ un triangle tel que $\widehat{A}=\dfrac{\pi}{7}$, $\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{7}$ et $\widehat{C}=\dfrac{4\pi}{7}$
On pose $BC=a,\,AC=b$ et $AB=c$
Exprimer $a^2+b^2+c^2$ en fonction du rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$

Question 87:
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\R _+$ telle que $f(0)=0$ et $\forall x\in\R _+; f'(x)\geqslant0\;et\;f"(x)\geqslant0$
$\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont les abscisses de trois points de la courbe représentative de $f$ tels que $0<\alpha<\beta<\gamma$
Montrer que $\gamma f(\gamma+\beta-\alpha)\geqslant(\gamma+\beta-\alpha)f(\gamma)$

Question 88:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé
La normale à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$ admet pour équation $y=2x+3$.
Calculer la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x^2)-5f(x^2-x)+4f(x^2+x)}{\ln(1+x)}$

Question 89:
Montrer l'inégalité suivante
$$\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^n}}>1-\frac{1}{n}$$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Question 90:
On pose $a=\log_2 3$, $b=\log_3 5$ et $c=\log_7 2$.
Calculer $\log_{140} 63$ en fonction de $a, b$ et $c$