Questions mathématiques diverses

Question 61:
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que pour tous réels $x$ et $y$ on a :
$f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1$
Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x$.

Question 62:
Résoudre, dans $\R$, l'équation suivante :
$12x^4-56x^3+89x^2-56x+12=0$

Question 63:
$a, b$ et $c$ sont des réels non nuls.
Montrer que si l'équation $a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$ admet deux solutions confondues alors $\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$

Question 64:
Les solutions de l'équation $x^2+px+q=0$ sont $\tan 20°$ et $\tan 25°$. Calculer alors la valeur de $q-p+2$

Question 65:
Montrer que si $\alpha$ est une solution réelle de l'équation $ax^2+bx+c=0$ et $\beta$ est une solution réelle de l'équation $-ax^2+bx+c=0$ alors l'équation $\dfrac{a}{2}x^2+bx+c=0$ admet au moins une solution $\gamma$ compris entre $\alpha$ et $\beta$.

Question 66:
Déterminer l'ensemble des réels $a$ pour lesquels l'équation $a\sin\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)=\sin 2x+9$ admet des solutions réelles.

Question 67:
Montrer que si $z$ est une solution complexe de l'équation $(\sin \theta_1)z^3+(\sin \theta_2)z^2+(\sin \theta_3)z+\sin \theta_4=3$
Alors $|z| > \dfrac{2}{3}$.

Question 68:
On note $j$ et $j^2$ les racines cubiques de l'unité autres que 1.
$a, b$ et $c$ sont des nombres complexes tels que :
$\left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{1}{a+j}+\dfrac{1}{b+j}+\dfrac{1}{c+j}=2j^2}\\&{\dfrac{1}{a+j^2}+\dfrac{1}{b+j^2}+\dfrac{1}{c+j^2}=2j}\end{aligned}}\right.$
Déterminer la valeur de l'expression $A=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$.

Question 69:
Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\theta \in \left]{0,\dfrac{\pi}{2}}\right[$ tel que $|z-3i|=3$.
Montrer que $\cot \theta -\dfrac{6}{z}=i$

Question 70:
Soit le nombre complexe $a=e^{i\frac{2\pi}{7}}$
Quelle est l'équation du second degré dont les solutions sont : $\alpha=a+a^2+a^4$ et $\beta=a^3+a^5+a^6$