Questions mathématiques diverses

Question 65:
Montrer que si $\alpha$ est une solution réelle de l'équation $ax^2+bx+c=0$ et $\beta$ est une solution réelle de l'équation $-ax^2+bx+c=0$ alors l'équation $\dfrac{a}{2}x^2+bx+c=0$ admet au moins une solution $\gamma$ compris entre $\alpha$ et $\beta$.

Réponse 65:
Posons $f(x)=\dfrac{a}{2}x^2+bx+c$.
$f(\alpha)=\dfrac{a}{2}\alpha^2+b\alpha+c$ $=(a\alpha^2+b\alpha+c)-\dfrac{a}{2}\alpha^2$ $=-\dfrac{a}{2}\alpha^2$ car $\alpha$ solution de l'équation $ax^2+bx+c=0$
$f(\beta)=\dfrac{a}{2}\beta^2+b\beta+c$ $=-a\beta^2+b\beta+c+\dfrac{3a}{2}\beta^2$ $=\dfrac{3a}{2}\beta^2$ car $\beta$ est une solution de l'équation $-ax^2+bx+c=0$

$f(\alpha)f(\beta)=-\dfrac{3}{4}a^2\alpha^2\beta^2 < 0$ en plus f est une fonction polynôme donc continue sur $\R$ alors d'après le théorème des valeurs Intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution $\gamma$ telle que $\gamma$ compris strictement entre $\alpha$ et $\beta$.