SigMathS
Réponse 66:
$$\begin{align*}
&a\sin\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)=\sin 2x+9\quad (*)\\
&\dfrac{a}{\sqrt{2}}(\cos x+\sin x)=2\sin x\cos x+9\\
&\dfrac{a}{\sqrt{2}}(\cos x+\sin x)=(\cos x+\sin x)^2+8\\
\end{align*}$$
On pose $t=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x-\dfrac{\pi}{4}}\right)$
et l'équation devient $t^2-\dfrac{a}{\sqrt{2}}t+8=0$ avec $t\in\left[{-\sqrt{2},\sqrt{2}}\right]$
On pose $f(t)=t^2-\dfrac{a}{\sqrt{2}}t+8$
L'équation $(*)$ admet des solutions $\iff$ l'équation $f(t)=0$ admet des solutions et puisque le produit des solutions de la dernière équation est égal à $8$ donc une seule $\in\left[{-\sqrt{2},\sqrt{2}}\right]$.
donc $f(-\sqrt{2})f(\sqrt{2}) \leqslant 0$ $\iff (2+a+8)(2-a+8)\leqslant0$ $\iff (a+10)(10-a)\leqslant0$ $\iff a \leqslant -10$ ou $a \geqslant 10$ $\iff |a|\geqslant 10$