Questions mathématiques diverses

Question 63:
$a, b$ et $c$ sont des réels non nuls.
Montrer que si l'équation $a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$ admet deux solutions confondues alors $\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$

Réponse 63:
On rappelle que :
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$
Les deux solutions sont confondues $$\begin{align*} &\iff \Delta=b^2(c-a)^2-4ac(b-c)(a-b)=0\\ &\iff b^2(c^2-2ac+a^2)-4ac(ba-b^2-ca+cb)=0\\ &\iff a^2b^2+b^2c^2+4a^2c^2+2b^2ac-4a^2bc-4abc^2=0\\ &\iff (ab)^2+(bc)^2+(2ac)^2+2(ab)(bc)-2(ab)(2ac)-2(bc)(2ac)=0\\ &\iff (ab+bc-2ac)^2=0\\ &\iff ab+bc-2ac=0\\ &\iff \dfrac{ab+bc-2ac}{abc}=0\\ &\iff \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b} \end{align*}$$