Questions mathématiques diverses

Question 70:
Soit le nombre complexe $a=e^{i\frac{2\pi}{7}}$
Quelle est l'équation du second degré dont les solutions sont : $\alpha=a+a^2+a^4$ et $\beta=a^3+a^5+a^6$

Réponse 70:
On pose $a=e^{i\frac{2\pi}{7}}$ $\Longrightarrow a^7=1$ $$\begin{align*} S&=\alpha+\beta\\ &=(a+a^2+a^4)+(a^3+a^5+a^6)\\ &=a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6\\ &=\dfrac{a(1-a^6)}{1-a}=\dfrac{a-a^7}{1-a}\\ &=\dfrac{a-1}{1-a}=-1\\ P&=\alpha\beta\\ &=(a+a^2+a^4)(a^3+a^5+a^6)\\ &=a^4+a^6+a^7+a^5+a^7+a^8+a^7+a^9+a^{10}\\ &=a^4+a^6+1+a^5+1+a+1+a^2+a^3\\ &=3+(a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6)\\ &=3+S=3-1=2 \end{align*}$$ Alors l'équation demandée est : $x^2-Sx+P=0$ ou encore $x^2+x+2=0$