Questions mathématiques diverses

Question 67:
Montrer que si $z$ est une solution complexe de l'équation $(\sin \theta_1)z^3+(\sin \theta_2)z^2+(\sin \theta_3)z+\sin \theta_4=3$
Alors $|z| > \dfrac{2}{3}$.

Réponse 67:
On sait que pour tout réel $x$; $|\sin x|\leqslant 1$ donc
$$\begin{align*} &3=(\sin \theta_1)z^3+(\sin \theta_2)z^2+(\sin \theta_3)z+\sin \theta_4\\ \Longrightarrow &3=\left|{(\sin \theta_1)z^3+(\sin \theta_2)z^2+(\sin \theta_3)z+\sin \theta_4}\right|\\ \Longrightarrow&3\leqslant |\sin \theta_1z^3|+|\sin \theta_2z^2|+|\sin\theta_3z|+|\sin\theta_4|\\ \Longrightarrow &3\leqslant |\sin \theta_1||z|^3+|\sin \theta_2||z|^2+|\sin\theta_3||z|+|\sin\theta_4|\\ \Longrightarrow&3\leqslant |z|^3+|z|^2+|z|+1\\ \end{align*}$$ Si $|z|=1$ alors $|z|>\dfrac{2}{3}$
Si $|z|\neq 1$ alors
$3\leqslant \dfrac{1-|z|^5}{1-|z|}<\dfrac{1}{1-|z|}$ (car $z\neq 0$)
Donc $3<\dfrac{1}{1-|z|}$ $\Longrightarrow 3-3|z|< 1$ ou encore $|z|>\dfrac{2}{3}$