Questions mathématiques diverses

Question 91:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
$\mathscr{C}$ un cercle de centre $I(-1,1)$ et de rayon $1$
$M$ est le centre d'un cercle $(\Gamma)$ tangent extérieurement à $\mathscr{C}$ et tangent à la droite d'équation $y=-1$.
Déterminer le lieu des points $M$.

Question 92:
Soient $\alpha, \beta$ et $A$ des réels tels que $A\neq k\dfrac{\pi}{2}$ avec $k\in \Z$
Montrer que si $\dfrac{\sin \alpha}{\sin A}+\dfrac{\cos \alpha}{\cos A}=\dfrac{\sin \beta}{\sin A}+\dfrac{\cos \beta}{\cos A}=1$ alors $\dfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos^2A}+\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin^2A}=-1$

Question 93:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $]0,+\infty[$ telle que $f(1)=1$ et pour tout réel $x>0,\;\lim\limits_{t \to x}\dfrac{t^2f(x)-x^2f(t)}{t-x}=1$.
Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x>0$

Question 94:
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$.
Déterminer alors la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to \alpha}\dfrac{1-\cos\left({ax^2+bx+c}\right)}{(x-\alpha)^2}$.

Question 95:
Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$
et $T_n=S_1+S_2+S_3+...+S_{n-1}\quad(n>1)$
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ et $S_n$

Question 96:
Soient $E$ et $F$ deux événements indépendants tels que : $P(E\cap F)=\dfrac{1}{6}$; $P(\overline{E}\cap \overline{F})=\dfrac{1}{3}$ et $\left({P(E)-P(F)}\right)(1-P(F))>0$.
Déterminer $P(E)$ et $P(F)$.

Question 97:
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\left[{0,1}\right]$ telle que $f(0)=0$ et $\forall x\in [0,1]$ $|f'(x)|\leqslant kf(x)$ où $k>0$
Montrer que pour tout $x\in [0,1], f(x)=0$

Question 98:
Calculer l'intégrale suivante : $$I=\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({2\sin\left({\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)}\right)dx}$$

Question 99:
Si on a : $$\begin{align*} ❖\;&\alpha=e^{i\frac{2\pi}{7}}\\ ❖\;&f(x)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{20}{A_kx^k}\\ ❖\;&\sum\limits_{k=0}^{6}{f\left({\alpha^kx}\right)}=\beta\left({A_0+A_7x^7+A_{14}x^{14}}\right) \end{align*}$$ Déterminer le réel $\beta$

Question 100:
Calculer l'intégrale suivante : $$I=\int_{-1}^{1}{\dfrac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1}}dx$$