Questions mathématiques diverses

Question 95:
Pour tout entier naturel non nul nn on pose Sn=1+12+13+...+1nS_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}
et Tn=S1+S2+S3+...+Sn−1(n>1)T_n=S_1+S_2+S_3+...+S_{n-1}\quad(n>1)
Exprimer TnT_n en fonction de nn et SnS_n
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Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$
 et $T_n=S_1+S_2+S_3+...+S_{n-1}\quad(n>1)$

Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ et $S_n$
Réponse 95:
S1=1S2=1+12S3=1+12+13S4=1+12+13+14...Sn−1=1+12+13+14+...+1n−1\begin{align*} S_1&=1\\ S_2&=1+\dfrac{1}{2}\\ S_3&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\\ S_4&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\\ ...\\ S_{n-1}&=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}\\ \end{align*} En faisant la somme membre à membre , on trouve : Tn=(n−1)+n−22+n−33+...+n−(n−1)n−1=(n−1)+(n2−1)+(n3−1)+...+(nn−1−1)=n(1+12+13+...+1n−1)−(n−1)=n(Sn−1n)−n+1=n(Sn−1)\begin{align*} T_n&=(n-1)+\dfrac{n-2}{2}+\dfrac{n-3}{3}+...+\dfrac{n-(n-1)}{n-1}\\ &=(n-1)+\left({\dfrac{n}{2}-1}\right)+\left({\dfrac{n}{3}-1}\right)+...+\left({\dfrac{n}{n-1}-1}\right)\\ &=n\left({1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}}\right)-(n-1)\\ &=n\left({S_n-\dfrac{1}{n}}\right)-n+1\\ &= \boxed{n\left({S_n-1}\right)} \end{align*}

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