Questions mathématiques diverses

Question 99:
Si on a :   α=ei2π7  f(x)=A0+k=120Akxk  k=06f(αkx)=β(A0+A7x7+A14x14)\begin{align*} ❖\;&\alpha=e^{i\frac{2\pi}{7}}\\ ❖\;&f(x)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{20}{A_kx^k}\\ ❖\;&\sum\limits_{k=0}^{6}{f\left({\alpha^kx}\right)}=\beta\left({A_0+A_7x^7+A_{14}x^{14}}\right) \end{align*} Déterminer le réel β\beta
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Si on a :
$$\begin{align*} 
❖\;&\alpha=e^{i\frac{2\pi}{7}}\\
❖\;&f(x)=A_0+\sum\limits_{k=1}^{20}{A_kx^k}\\
❖\;&\sum\limits_{k=0}^{6}{f\left({\alpha^kx}\right)}=\beta\left({A_0+A_7x^7+A_{14}x^{14}}\right)
\end{align*}$$
Déterminer le réel $\beta$
Réponse 99:
k=06f(αkx)=7A0+k=120Akxk(1+αk+...+α6k)\sum\limits_{k=0}^{6}{f(\alpha^kx)}=7A_0+\sum\limits_{k=1}^{20}{A_kx^k(1+\alpha^k+...+\alpha^{6k})}
si k7k\neq 7 et k14k\neq 14; 1+αk+...+α6k=1α7k1αk=01+\alpha^k+...+\alpha^{6k}=\dfrac{1-\alpha^{7k}}{1-\alpha^k}=0 car α7k=1\alpha^{7k}=1 donc k=06f(αkx)=7A0+A7x7(1+α7+...+α6×7)+A14x14(1+α7×2+...+α7×14)=7A0+7A7x7+7A14x14=7(A0+A7x7+A14x14)\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{6}{f(\alpha^kx)}&=7A_0+A_7x^7(1+\alpha^7+...+\alpha^{6\times 7})\\ &+A_{14}x^{14}(1+\alpha^{7\times 2}+...+\alpha^{7\times 14})\\ =&7A_0+7A_7x^7+7A_{14}x^{14}\\ =&7\left({A_0+A_7x^7+A_{14}x^{14}}\right) \end{align*}
Conclusion : β=7\beta=7

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