Questions mathématiques diverses

Question 91:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
$\mathscr{C}$ un cercle de centre $I(-1,1)$ et de rayon $1$
$M$ est le centre d'un cercle $(\Gamma)$ tangent extérieurement à $\mathscr{C}$ et tangent à la droite d'équation $y=-1$.
Déterminer le lieu des points $M$.

Réponse 91:
Soit $M(x,y)$ le centre d'un cercle $\Gamma$ tangent à $\Delta:y=-1$ en $H(x,-1)$ et tangent au cercle $\mathscr{C}$ en $K$ $$\begin{align*} &\Gamma\;et\; \mathscr{C}\; tangents\; exterieurement\\ &\iff IM=IK+KM\\ &\iff IM=1+HM \qquad (*)\\ &\iff IM^2=(1+HM)^2\\ &\iff (x+1)^2+(y-1)^2=1+2|y+1|+(y+1)^2\\ &\iff (x+1)^2=4y+2|y+1|+1\\ \end{align*}$$ $y\leqslant -1$ ssi le point $M$ est au dessous de la droite $\Delta$.
Soit $P$ le point d'intersection de $(MI)$ et $\Delta$.
$IM=IP+PM$ $\Longrightarrow IM\geqslant 2+MH$ $\Longrightarrow IM>1+HM$ ce qui est impossible d'après $(*)$ donc $y\geqslant -1$.
Alors $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ sont tangents exterieurement $\iff (x+1)^2=6y+3$ $\iff y=\dfrac{1}{6}(x+1)^2-\dfrac{1}{2}$
Conclusion:
L'ensemble cherché est la parabole d'équation $\boxed{y=\dfrac{1}{6}(x+1)^2-\dfrac{1}{2}}$