Questions mathématiques diverses

Question 98:
Calculer l'intégrale suivante : I=0π24(2sin(x)+xcos(x))dxI=\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({2\sin\left({\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)}\right)dx}
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Calculer l'intégrale suivante : $$I=\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({2\sin\left({\sqrt{x}}\right)+\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)}\right)dx}$$
Réponse 98:
On pose f(x)=2sin(x)f(x)=2\sin\left({\sqrt{x}}\right)
ff est dérivable sur ]0,+[\left]{0,+\infty}\right[ et xf(x)=xcos(x)xf'(x)=\sqrt{x}\cos\left({\sqrt{x}}\right)
I=lima0+aπ24(f(x)+xf(x))dxI=\lim\limits_{a \to 0^+}\int_{a}^{\frac{\pi^2}{4}}{\left({f(x)+xf'(x)}\right)dx}     I=lima0+[xf(x)]aπ24=π22\iff I=\lim\limits_{a \to 0^+}\left[{xf(x)}\right]_a^{\frac{\pi^2}{4}} =\dfrac{\pi^2}{2}

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