Questions mathématiques diverses

Question 71:
$f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$.
Montrer qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]a,b[$ tel que :
$\dfrac{f'(c)}{f(a)-f(c)}+\dfrac{g'(c)}{g(b)-g(c)}=1$

Question 72:
$A(z_1)$,$B(z_2)$ et $C(z_3)$ trois points distincts du plan complexe.
Montrer l'équivalence suivante :
$ABC\;\text{équilatéral }$ $\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$

Question 73:
Le plan complexe est rapporté à hn repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
Soit $AOB$ un triangle tel que les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $z_1$ et $z_2$
Montrer que si $z_1^2+z_2^2+z_1z_2=0$ alors $OA=OB$ et $\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{3}$

Question 74:
$ABC$ et $PQR$ sont deux triangles dont les sommets ont pour affixes respectives $a,b,c,p,q$ et $r$.
Montrer que si $(a-b)(p-q)=(b-c)(q-r)=(c-a)(r-p)$ alors les triangles $ABC$ et $PQR$ sont équilatéraux

Question 75:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
Soit $ABC$ et $DOE$ deux triangles tels que les sommets $A,B,C,D$ et $E$ d'affixes respectives $z_1,z_2,z_3,z_4$ et $z_5$.
Montrer que si $(z_3-z_2)z_4=(z_1-z_2)z_5$ alors les triangles $ABC$ et $DOE$ sont semblables.

Question 76:
Soit $n$ un entier naturel.
Déterminer l'expression $X_n$ telle que $\dfrac{1^4}{1.3}+\dfrac{2^4}{3.5}+\dfrac{3^4}{5.7}+...+\dfrac{n^4}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{48}X_n+\dfrac{n}{16(2n+1)}$

Question 77:
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $[a,b]$ telle que pour tout réel $x\in]a,b[; f"(x)<0$.
Montrer que pour tout réel $c\in]a,b[;(f(c)-f(a))(b-c)>(f(b)-f(c))(c-a)$

Question 78:
Soit $f$ une fonction dérivable et de dérivée continue sur $[0,\pi]$ telle que pour tout réel $x\in[0,\pi]$ on a : $f(x)+f(\pi-x)=\pi^2$.
Calculer alors l'integrale $I=\int_{0}^{\pi}{f(x)\sin xdx}$

Question 79:
$S=1^2-2^2+3^2-4^2+...-(2022)^2+(2023)^2$.
Ecrire $S$ sous la forme $m^2n$ où $m$ et $n$ sont deux entiers naturels tels que $m>19$

Question 80:
Soit $f$ une fonction continue sur $\R^*$ telle que pour tout réel $x\neq 0$ on a : $5f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x}+3$
Calculer l'intégrale $I=\int_{1}^{2}{f(x)\,dx}$