Questions mathématiques diverses

Question 74:
$ABC$ et $PQR$ sont deux triangles dont les sommets ont pour affixes respectives $a,b,c,p,q$ et $r$.
Montrer que si $(a-b)(p-q)=(b-c)(q-r)=(c-a)(r-p)$ alors les triangles $ABC$ et $PQR$ sont équilatéraux

Réponse 74:
$$\begin{align*} &(a-b)(p-q)=(b-c)(q-r)=(c-a)(r-p)\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{(a-b)(p-q)=(b-c)(q-r)}\\&{(a-b)(p-q)=(c-a)(r-p)}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{a-b}{q-r}=\dfrac{b-c}{p-q}=\dfrac{(a-b)+(b-c)}{(q-r)+(p-q)}}\\&{\dfrac{a-b}{r-p}=\dfrac{c-a}{p-q}=\dfrac{(a-b)+(c-a)}{(r-p)+(p-q)}}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{a-b}{q-r}=\dfrac{b-c}{p-q}=\dfrac{a-c}{p-r}}\\&{\dfrac{a-b}{r-p}=\dfrac{c-a}{p-q}=\dfrac{c-b}{r-q}}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{a-b}{a-c}=\dfrac{q-r}{p-r}}\\&{\dfrac{c-b}{a-b}=\dfrac{q-r}{p-r}}\end{aligned}}\right.et \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{b-c}{a-c}=\dfrac{p-q}{p-r}}\\&{\dfrac{c-b}{c-a}=\dfrac{r-q}{p-q}}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{a-b}{a-c}=\dfrac{c-b}{a-b}}\\&{\dfrac{p-q}{p-r}=\dfrac{r-q}{p-q}}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{a^2-2ab+b^2=ac-ab-c^2+bc}\\&{p^2-2pq+q^2=pr-pq-r^2+rq}\end{aligned}}\right.\\ &\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}&{a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc}\\&{p^2+q^2+r^2=pq+qr+rp}\end{aligned}}\right.\\ \end{align*}$$ Donc les deux triangles sont équilatéraux (D'après $Question\; 72$)