Questions mathématiques diverses

Question 71:
$f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$.
Montrer qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]a,b[$ tel que :
$\dfrac{f'(c)}{f(a)-f(c)}+\dfrac{g'(c)}{g(b)-g(c)}=1$

Réponse 71:
Soit h la fonction définie sur $[a,b]$ par : $h(x)=(f(x)-f(a))(g(x)-g(b))e^x$.
$h$ est dérivable sur $[a,b]$ et $h(a)=h(b)=0$ donc d'après le théorème de Rolle il existe $c\in\left]{a,b}\right[$ tel que $h'(c)=0$.
$h'(c)=\left({\left({(f(c)-f(a))(g(c)-g(b))+f'(c)(g(c)-g(b))+g'(c)(f(c)-f(a))}\right)}\right)e^c=0 $
En divisant par $(f(c)-f(a))(g(c)-g(b))$ on obtient :
$1+\dfrac{f'(c)}{f(c)-f(a)}+\dfrac{g'(c)}{g(c)-g(b)}=0$ ou encore $\dfrac{f'(c)}{f(a)-f(c)}+\dfrac{g'(c)}{g(b)-g(c)}=1$