Question 80: Soit $f$ une fonction continue sur $\R^*$ telle que pour tout réel $x\neq 0$ on a :
$5f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x}+3$
Calculer l'intégrale $I=\int_{1}^{2}{f(x)\,dx}$
Soit $f$ une fonction continue sur $\R^*$ telle que pour tout réel $x\neq 0$ on a :
$5f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x}+3$
Calculer l'intégrale $I=\int_{1}^{2}{f(x)\,dx}$
SigMathS
Réponse 80: $5f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=\dfrac{1}{x}+3\quad (*)$
Remplaçons $x$ par $\dfrac{1}{x}$ on obtient
$5f(\dfrac{1}{x})+4f(x)=x+3\quad (**)$
$(*)$ et $(**)$ $\Longrightarrow f(x)=\dfrac{1}{9}\left({\dfrac{5}{x}-4x+3}\right)$ donc
$\int_{1}^{2}{f(x)}=\dfrac{1}{9}\left[{5\ln x-2x^2+3x}\right]_1^2$ $=\dfrac{5ln 2-3}{9}$