Questions mathématiques diverses

Question 72:
A(z1)A(z_1),B(z2)B(z_2) et C(z3)C(z_3) trois points distincts du plan complexe.
Montrer l'équivalence suivante :
ABC  eˊquilateˊral ABC\;\text{équilatéral }   ⟺  z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1
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$A(z_1)$,$B(z_2)$ et $C(z_3)$ trois points distincts du plan complexe.

Montrer l'équivalence suivante :

$ABC\;\text{équilatéral }$ $\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$
Réponse 72:

Rappel

On rappelle que si j=ei2π3j=e^{i\frac{2\pi}{3}} alors j3=1j^3=1 et 1+j+j2=01+j+j^2=0
ABC    eˊquilateˊral  ⟺  ACAB=1  et  AB→,AC→^≡±π3  ⟺  z3−z1=(z2−z1)e±iπ3  ⟺  (z3−z1)eiπ=(z2−z1)ei2π3  ou  (z3−z1)eiπ=(z2−z1)ei4π3  ⟺  z1−z3=(z2−z1)ei2π3  ou  z1−z3=(z2−z1)ei4π3  ⟺  z1−z3=(z2−z1)j  ou  z1−z3=(z2−z1)j2  ⟺  z1(1+j)−z2j−z3=0  ou  z1(1+j2)−z2j2−z3=0  ⟺  z3+jz2+j2z1=0  ou  z3+j2z2+jz1=0  ⟺  (z3+jz2+j2z1)(z3+j2z2+jz1)=0  ⟺  z12+z22+z32+(j+j2)(z1z2+z2z3+z3z1)=0  ⟺  z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1(car  j+j2=−1)\begin{align*} &ABC\;\; équilatéral\\ &\iff \dfrac{AC}{AB}=1\;et\;\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\equiv \pm\dfrac{\pi}{3}\\ &\iff z_3-z_1=(z_2-z_1)e^{\pm i\frac{\pi}{3}}\\ &\iff (z_3-z_1)e^{i\pi}=(z_2-z_1)e^{i\frac{2\pi}{3}}\;ou\;(z_3-z_1)e^{i\pi}=(z_2-z_1)e^{i\frac{4\pi}{3}}\\ &\iff z_1-z_3=(z_2-z_1)e^{i\frac{2\pi}{3}}\;ou\;z_1-z_3=(z_2-z_1)e^{i\frac{4\pi}{3}}\\ &\iff z_1-z_3=(z_2-z_1)j\;ou\;z_1-z_3=(z_2-z_1)j^2\\ &\iff z_1(1+j)-z_2j-z_3=0\;ou\;z_1(1+j^2)-z_2j^2-z_3=0\\ &\iff z_3+jz_2+j^2z_1=0\;ou\;z_3+j^2z_2+jz_1=0\\ &\iff (z_3+jz_2+j^2z_1)(z_3+j^2z_2+jz_1)=0\\ &\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2+(j+j^2)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)=0\\ &\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1\quad (car\; j+j^2=-1) \end{align*}

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