Questions mathématiques diverses

Question 72:
$A(z_1)$,$B(z_2)$ et $C(z_3)$ trois points distincts du plan complexe.
Montrer l'équivalence suivante :
$ABC\;\text{équilatéral }$ $\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$

Réponse 72:
$$\begin{align*} &ABC\;\; équilatéral\\ &\iff \dfrac{AC}{AB}=1\;et\;\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\equiv \pm\dfrac{\pi}{3}\\ &\iff z_3-z_1=(z_2-z_1)e^{\pm i\frac{\pi}{3}}\\ &\iff (z_3-z_1)e^{i\pi}=(z_2-z_1)e^{i\frac{2\pi}{3}}\;ou\;(z_3-z_1)e^{i\pi}=(z_2-z_1)e^{i\frac{4\pi}{3}}\\ &\iff z_1-z_3=(z_2-z_1)e^{i\frac{2\pi}{3}}\;ou\;z_1-z_3=(z_2-z_1)e^{i\frac{4\pi}{3}}\\ &\iff z_1-z_3=(z_2-z_1)j\;ou\;z_1-z_3=(z_2-z_1)j^2\\ &\iff z_1(1+j)-z_2j-z_3=0\;ou\;z_1(1+j^2)-z_2j^2-z_3=0\\ &\iff z_3+jz_2+j^2z_1=0\;ou\;z_3+j^2z_2+jz_1=0\\ &\iff (z_3+jz_2+j^2z_1)(z_3+j^2z_2+jz_1)=0\\ &\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2+(j+j^2)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)=0\\ &\iff z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1\quad (car\; j+j^2=-1) \end{align*}$$