Questions mathématiques diverses

Question 79:
$S=1^2-2^2+3^2-4^2+...-(2022)^2+(2023)^2$.
Ecrire $S$ sous la forme $m^2n$ où $m$ et $n$ sont deux entiers naturels tels que $m>19$

Réponse 79:
On pose $u_n=(2n+1)^2-(2n+2)^2$
$(2n+1)^2-(2n+2)^2$ $=-4n-3$ donc $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $-4$ et de premier terme $-3$
$$\begin{align*} S&=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...-(2022)^2+(2023)^2\\ &=u_0+u_1+...+u_{1010}+(2023)^2\\ &=\dfrac{1011}{2}(-3-4(1010)-3)+(2023)^2\\ &=1011\times (-2023)+(2023)^2\\ &=2023(2023-1011)\\ &=2023\times1012\\ &=(7\times17^2)\times(2^2\times11\times23)\\ &=34^2\times1771 \end{align*}$$