Questions mathématiques diverses

Question 3:
Déterminer un argument du nombre complexe suivant :
$Z=\dfrac{1+\sin \dfrac{\pi}{3}+i\cos \dfrac{\pi}{3}}{1+\sin \dfrac{\pi}{3}-i\cos \dfrac{\pi}{3}}$

Réponse 3:
$$\begin{align*} Z=&\dfrac{1+\sin \dfrac{\pi}{3}+i\cos \dfrac{\pi}{3}}{1+\sin \dfrac{\pi}{3}-i\cos \dfrac{\pi}{3}}\\ =&\dfrac{1+i\left({\cos \dfrac{\pi}{3}-i\sin \dfrac{\pi}{3}}\right)}{1-i\left({\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}}\right)}\\ =&\dfrac{1+ie^{-i\frac{\pi}{3}}}{1-ie^{i\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{1+e^{i\left({\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}\right)}}{1+e^{i\left({\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}}\right)}}\\ =&\dfrac{1+e^{i\frac{\pi}{6}}}{1+e^{-i\frac{\pi}{6}}} =\dfrac{e^{i\frac{\pi}{12}}\left({e^{-i\frac{\pi}{12}}+e^{i\frac{\pi}{12}}}\right)}{e^{-i\frac{\pi}{12}}\left({e^{i\frac{\pi}{12}}+e^{-i\frac{\pi}{12}}}\right)}\\ =&\dfrac{e^{i\frac{\pi}{12}}}{e^{-i\frac{\pi}{12}}}=e^{i\left({\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}\right)}=e^{i\frac{\pi}{6}} \end{align*}$$ Donc $\dfrac{\pi}{6}$ est un argument de $Z$