Questions mathématiques diverses

Question 10:
Soit $p$ et $q$ deux réels tels que :
$2p^2+3p+1=0$ et $q^2+3q+2=0$ où $pq\neq 1$
Sans calculer les valeurs de $p$ et $q$, déterminer le réel $X=\dfrac{pq+p+1}{q}$

Réponse 10:
$q^2+3q+2=0$ $\iff q^2\left({1+\dfrac{3}{q}+\dfrac{2}{q^2}}\right)=0$ $\iff 1+\dfrac{3}{q}+\dfrac{2}{q^2}=0$ $\iff 2\left({\dfrac{1}{q}}\right)^2+3\left({\dfrac{1}{q}}\right)+1=0$ en plus $2p^2+3p+1=0$ donc $p$ et $\dfrac{1}{q}$ sont deux solutions distinctes (car $pq\neq 1$) de l'équation $2x^2+3x+1=0$
Alors $p+\dfrac{1}{q}=-\dfrac{3}{2}$ et $p\times\dfrac{1}{q}=\dfrac{p}{q}=\dfrac{1}{2}$
D'où $X=p+\dfrac{p}{q}+\dfrac{1}{q}$ $=\left({p+\dfrac{1}{q}}\right)+\dfrac{p}{q}$ $=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1$