Des exercices de mathématiques niveau 2ème année secondaire
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76 exercices
Exercice 1 --- (id : 827)
correction
Rappel
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne un point $A(x_0,y_0)$ et une droite $\Delta$ dont une équation cartésienne est : $ax+by+c=0$ où a, b et c des réels tels que $(a,b)\neq (0,0)$
La distance du point $A$ à la droite $\Delta$ notée $d(A,\Delta)$ est définie par : $d(A,\Delta)=\dfrac{\left|{ax_0+by_0+c}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
1
$$\begin{align*}
&\forall m\in \Bbb R, M(x,y)\in \Delta_m\\
&\iff \forall m\in \Bbb R, (m+2)x-(m+1)y+m=0\\
&\iff \forall m\in \Bbb R, mx+2x-my-y+m=0\\
&\iff \forall m\in \Bbb R, (x-y+1)m+(2x-y)=0\\
&\iff \left\{{\begin{aligned}&{x-y+1=0}\\&{2x-y=0}\end{aligned}}\right.
\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2x}\\&{x-2x+1=0}\end{aligned}}\right.\\
&\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2x}\\&{-x+1=0}\end{aligned}}\right.
\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2x}\\&{x=1}\end{aligned}}\right.\\
&\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=1}\\&{y=2}\end{aligned}}\right.
\end{align*}$$
Donc toutes les droites $\Delta_m$ passent par le point fixe $A(1,2)$
On écrit $\bigcap\limits_{m\in \Bbb R}{\Delta_m}=\left\{{A(1,2)}\right\}$
On écrit $\bigcap\limits_{m\in \Bbb R}{\Delta_m}=\left\{{A(1,2)}\right\}$
2
Pour répondre à cette question, le plan doit être rapporté à un repère orthonormé
$$\begin{align*} &d(B,\Delta_m)=1\\ &\iff \dfrac{\left|{(m+2)\times 0-(m+1)\times 1+m}\right|}{\sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}}=1\\ &\iff |-1|=\sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}\\ &\iff \sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}=1\\ &\iff (m+2)^2+(m+1)^2=1\\ &\iff m^2+4m+4+m^2+2m+1=1\\ &\iff 2m^2+6m+4=0\\ &\iff m^2+3m+2=0; \Delta=3^2-4\times 2=1>0\\ &\iff m=\dfrac{-3-1}{2}=-2\; ou \; m=\dfrac{-3+1}{2}=-1 \end{align*}$$
$$\begin{align*} &d(B,\Delta_m)=1\\ &\iff \dfrac{\left|{(m+2)\times 0-(m+1)\times 1+m}\right|}{\sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}}=1\\ &\iff |-1|=\sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}\\ &\iff \sqrt{(m+2)^2+(m+1)^2}=1\\ &\iff (m+2)^2+(m+1)^2=1\\ &\iff m^2+4m+4+m^2+2m+1=1\\ &\iff 2m^2+6m+4=0\\ &\iff m^2+3m+2=0; \Delta=3^2-4\times 2=1>0\\ &\iff m=\dfrac{-3-1}{2}=-2\; ou \; m=\dfrac{-3+1}{2}=-1 \end{align*}$$