Géométrie analytique : Exercice 10 2ème année secondaire

1 $x^2+y^2-8x-2y+4=0$ $\iff (x^2-8x)+(y^2-2y)+4=0$ $\iff (x-4)^2-4^2+(y-1)^2-1^2+4=0$ $\iff (x-4)^2+(y-1)^2=13=(\sqrt{13})^2$ donc $(c)$ est le cercle de centre $I(4;1)$ et de rayon $R=\sqrt{13}$
Les cercles $𝒞_1$ et $𝒞_2$ de centre $A(-5;7)$ tangents au cercle $(c)$ sont les cercles tels que leurs points de contacts avec $(c)$ sont alignés avec les centres $A$ et $I$
En plus $IA=\sqrt{(-5-4)^2+(7-1)^2}=\sqrt{117}=\sqrt{9\times 13}=3\sqrt{13}>R$ donc le point $A$ est exterieur à $(c)$ alors leurs rayons sont respectivements $R_1=IA-R=3\sqrt{13}-\sqrt{13}=2\sqrt{13}$ et $R_2=IA+R=3\sqrt{13}+\sqrt{13}=4\sqrt{13}$

Conclusion:
🔸$𝒞_1 : (x+5)^2+(y-7)^2=(2\sqrt{13})^2$
🔸$𝒞_2 : (x+5)^2+(y-7)^2=(4\sqrt{13})^2$

2 Les points de contacts de $(c)$ avec $𝒞_1$ et $𝒞_2$ sont les points $T(x;y)$ de $(c)$ alignés avec les centres $I$ et $A$
$\overrightarrow{IT}=\lambda \overrightarrow{IA}$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x-4=\lambda(-5-4)}\\&{y-1=\lambda(7-1)}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4-9\lambda}\\&{y=1+6\lambda}\end{aligned}}\right.$
$T(4-9\lambda;1+6\lambda)\in (c)$ $\iff (4-9\lambda-4)^2+(1+6\lambda-1)^2=13$ $\iff 117\lambda^2=13$ $\iff \lambda^2=\dfrac{13}{117}=\dfrac{13}{9\times 13}=\dfrac{1}{9}$ $\iff \lambda=-\dfrac{1}{3}$ ou $\lambda=\dfrac{1}{3}$
Pour $\lambda=-\dfrac{1}{3}$ ; $T\left({7;-1}\right)$ c'est le point de contact avec $𝒞_2$
Pour $\lambda=\dfrac{1}{3}$ ; $T\left({1;3}\right)$ c'est le point de contact avec $𝒞_1$