Géométrie analytique : Exercice 14 2ème année secondaire

a $$\begin{align*} &\zeta_m: x^2+y^2+2mx+4my+m-1=0\\ &\iff (x^2+2mx)+(y^2+4my)+m-1=0\\ &\iff (x+m)^2-m^2+(y+2m)-(2m)^2+m-1=0\\ &\iff (x+m)^2+(y+2m)^2=5m^2-m+1 \end{align*}$$ Posons $R(m)=5m^2-m+1$ ; $\Delta=(-1)^2-20=-19<0$ donc $\forall m\in \Bbb R$; $R(m)>0$ donc $\zeta_m$ est un cercle pour tout réel m
Son centre le point $\Omega_m(-m;-2m)$; son rayon $R_m=\sqrt{5m^2-m+1}$

b $\Delta_0:2y+4=0$ $\iff y+2=0$ et $\zeta_0:x^2+y^2=1$
$M(x;y)\in \Delta \cap \zeta_0$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=-2}\\&{x^2+y^2=1}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=-2}\\&{x^2=1-4=-3\;impossible}\end{aligned}}\right.$ donc $\Delta_0\cap \zeta_0=\varnothing$

Autrement

$d(\Omega_0,\Delta_0)=d(O,\Delta_0)$ $=\dfrac{|0+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}=2>R_0=1$ donc $\Delta_0$ et $\zeta_0$ sont exterieurs et par suite $\Delta_0\cap\zeta_0=\varnothing$