Géométrie analytique : Exercice 11 2ème année secondaire

1 $\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-5}\\&{-1}\end{aligned}}\right)$ ; $\overrightarrow{BC}\left({\begin{aligned}&{6}\\&{-1}\end{aligned}}\right)$ et $\begin{vmatrix}{-5}&{6}\\{-1}&{-1}\end{vmatrix}=11 \neq 0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas colinéaires par suite les points $A\;,\;B\;et\;C$ ne sont pas alignés.

2 $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal pour la médiatrice $m_1$ de [AB] donc $m_1: -5x-y+c=0$ où $c$ est un réel.
$A*B\left({-\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}}\right)\in m_1$ $\iff -5\times \left({-\dfrac{3}{2}}\right)-\dfrac{5}{2}+c=0$ $\iff c=-5$ donc $m_1:-5x-y-5=0$ ou encore $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$m_1: 5x+y+5=0$}$
$\overrightarrow{BC}$ est un vecteur normal pour la médiatrice $m_2$ de [BC] donc $m_2: 6x-y+c=0$ où $c$ est un réel.
$B*C\left({-1;\dfrac{3}{2}}\right)\in m_2$ $\iff 6\times (-1)-\dfrac{3}{2}+c=0$ $\iff c=\dfrac{15}{2}$ donc $m_2:6x-y+\dfrac{15}{2}=0$ ou encore $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$m_2: 12x-2y+15=0$}$

3 Le centre $I$ du cercle $(\gamma)$ est le point d'intersection des deux médiatrices $m_1$ et $m_2$.
$I(x,y)\in m_1\cap m_2$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{5x+y+5=0}\\&{12x-2y+15=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{10x+2y+10=0}\\&{12x-2y+15=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{22x+25=0}\\&{y=-5x-5}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-\dfrac{25}{22}}\\&{y=\dfrac{15}{22}}\end{aligned}}\right.$