Géométrie analytique : Exercice 16 2ème année secondaire

a $(x-2)^2+(y-1)^2=9$

b Le centre de ce cercle est le point $I(0;1)=O*A$ et son rayon $R=OI=\sqrt{0^2+1^2}=1$
Donc son équation : $x^2+(y-1)^2=1$

c Le rayon de ce cercle est $R=BC$ $=\sqrt{(1-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}$
Donc son équation : $(x-2)^2+(y-1)^2=5$

d On note $m_1$ et $m_2$ les médiatrices respectives de $[AB]$ et $[AC]$

Equation de $m_1$

$\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-4}\\&{2}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal à $(m_1)$ donc $m_1:-4x+2y+c=0$ où $c\in \Bbb R$
$E=A*B\in m_1$ , $E(2;1)\Longrightarrow$ $-4\times 2+2\times 1+c=0$ $\iff c=6$ donc $m_1:-4x+2y+6=0$ ou encore $\boxed{m_1:-2x+y+3=0}$

Equation de $m_2$

$\overrightarrow{AC}\left({\begin{aligned}&{0}\\&{2}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal à $(m_2)$ donc $m_2: 0.x+2.y+c=0$ où $c\in \Bbb R$ $\iff m_2:2y+c=0$
$F=A*C\in m_2$, $F(4;1)\Longrightarrow 2\times 1+c=0$ $\iff c=-2$ donc $m_2:2y-2=0$ ou encore $\boxed{m_2: y-1=0}$
Le centre $J$ du cercle $𝒞$ circonscrit au triangle $ABC$ est l'intersection des deux médiatrices $m_1$ et $m_2$.
$\left\{{J(x;y)}\right\}=m_1\cap m_2$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y-1=0}\\&{-2x+y+3=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=1}\\&{-2x=-y-3=-1-3=-4}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{-4}{-2}=2}\\&{y=1}\end{aligned}}\right.$ donc $\boxed{J(2;1)}$
Alors $𝒞$ est le cercle de centre $J$ et de rayon $JA=\sqrt{(4-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5}$
Conclusion$\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$𝒞: (x-2)^2+(y-1)^2=5$}$