Géométrie analytique : Exercice 19 2ème année secondaire

1 Voir figure ci-dessous

2 $H(x;y)$ est le pied de la hauteur issue de $C$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{H\in (AB)}\\&{\overrightarrow{CH}\left({\begin{aligned}&{x+1}\\&{y-4}\end{aligned}}\right)\perp \overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{6}\\&{3}\end{aligned}}\right)}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{\overrightarrow{AH}=\alpha \overrightarrow{AB}}\\&{6(x+1)+3(y-4)=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x+2=6\alpha}\\&{y+1=3\alpha}\\&{6x+3y-6=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=6\alpha-2}\\&{y=3\alpha-1}\\&{6(6\alpha-2)+3(3\alpha-1)-6=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{\alpha=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}}\\&{x=6\times\dfrac{7}{15}-2=\dfrac{4}{5}=0,8}\\&{y=3\times\dfrac{7}{15}-1=\dfrac{2}{5}=0,4}\end{aligned}}\right.$ donc $H(0,8;0,4)$

3 L'aire du triangle $ABC$ $=\dfrac{AB\times CH}{2}$
$AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$
$CH=\sqrt{(\frac{4}{5}+1)^2+(\frac{2}{5}-4)^2}=\dfrac{\sqrt{405}}{5}$
Alors l'aire de $ABC$ $=\dfrac{\sqrt{45}\times \dfrac{\sqrt{405}}{5}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{18225}}{10}=\dfrac{135}{10}=13,5$