Géométrie analytique : Exercice 7 2ème année secondaire
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Exercice 7 --- (id : 765)
correction
1
$$\begin{align*}
&M(x,y)\in (c_1) \cap (c_2)\\
\iff &{\begin{aligned}&{L1}\\&{L2}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{x^2+y^2-5x+6y-40=0}\\&{x^2+y^2+2x-22y+37=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &{\begin{aligned}&{L1-L2}\\&{L2}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{-7x+28y-77=0}\\&{x^2+y^2+2x-22y+37=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{-x+4y-11=0}\\&{x^2+y^2+2x-22y+37=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=4y-11}\\&{(4y-11)^2+y^2+2(4y-11)-22y+37=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=4y-11}\\&{16y^2-88y+121+y^2+8y-22-22y+37=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=4y-11}\\&{17y^2-102y+136=0}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=4y-11}\\&{y^2-6y+8=0\;;\;\; \Delta=36-32=4=2^2}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=4y-11}\\&{y=\dfrac{6-2}{2}=2\;ou\;y=\dfrac{6+2}{2}=4}\end{aligned}}\right.\\
\iff &\left\{{\begin{aligned}&{x=-3}\\&{y=2}\end{aligned}}\right.\; ou \;\left\{{\begin{aligned}&{x=5}\\&{y=4}\end{aligned}}\right.
\end{align*}$$
$\boxed{(c_1) \cap (c_2)=\left\{{E(-3;2),F(5;4)}\right\}}$
2
🔸 $M(x,y)\in (c_1)$ $\iff x^2+y^2-5x+6y-40=0$ $\iff (x^2-5x)+(y^2+6y)-40=0$ $\iff (x-\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+(y+3)^2-9-40=0$ $\iff (x-\frac{5}{2})^2+(y+3)^2=\dfrac{221}{4}$
Donc $(c_1)$ est le cercle de centre $I_1(\frac{5}{2};-3)$ et de rayon $\frac{\sqrt{221}}{2}$
🔸 $M(x,y)\in c_2$ $\iff (x^2+2x)+(y^2-22y)+37=0$ $\iff (x+1)^2-1+(y-11)^2-121+37=0$ $\iff (x+1)^2+(y-11)^2=85$
Donc $(c_2)$ est le cercle de centre $I_2(-1;11)$ et de rayon $\sqrt{85}$
Donc $(c_1)$ est le cercle de centre $I_1(\frac{5}{2};-3)$ et de rayon $\frac{\sqrt{221}}{2}$
🔸 $M(x,y)\in c_2$ $\iff (x^2+2x)+(y^2-22y)+37=0$ $\iff (x+1)^2-1+(y-11)^2-121+37=0$ $\iff (x+1)^2+(y-11)^2=85$
Donc $(c_2)$ est le cercle de centre $I_2(-1;11)$ et de rayon $\sqrt{85}$
i
Soit T une tangente au cercle $(c_1)$ d'équation $ax+by+c=0$ où $a\;,b\;et\;c$ des réels tels que $(a,b)\neq (0,0)$
$A(8;2)\in T$ $\iff 8a+2b+c=0$ $\iff c=-8a-2b$ donc $T:\; ax+by-8a-2b=0$ ou encore $T:\; a(x-8)+b(y-2)=0$ $$\begin{align*} &\text{$T$ tangente à $(c_1)$}\\ \iff &d(I_1,T)=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\\ \iff &\dfrac{\left|{a(\frac{5}{2}-8)+b(-3-2)}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\\ \iff &\left|{-\dfrac{11}{2}a-5b}\right|=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\sqrt{a^2+b^2}\\ \iff &\left({\dfrac{11}{2}a+5b}\right)^2=\dfrac{221}{4}(a^2+b^2)\\ \iff &\dfrac{121}{4}a^2+55ab+25b^2=\dfrac{221}{4}a^2+\dfrac{221}{4}b^2\\ \iff &\dfrac{221-121}{4}a^2+\dfrac{221-100}{4}b^2-55ab=0\\ \iff &(5a)^2+2\times 5a\times \dfrac{11}{2}b+\left({\dfrac{11}{2}b}\right)^2=0\\ \iff &\left({5a-\dfrac{11}{2}b}\right)^2=0\\ \iff &5a-\dfrac{11}{2}b=0 \iff \boxed{a=\dfrac{11}{10}b} \end{align*}$$ Donc $T:\;\dfrac{11}{10}b(x-8)+b(y-2)=0$ $\iff b\left({\dfrac{11}{10}(x-8)+(y-2)}\right)=0$ $\iff \dfrac{11}{10}(x-8)+(y-2)=0$ car $b\neq 0$ sinon $a=\frac{11}{2}b=0$ aussi ce qui est impossible.
Après simplification l'équation de $T$ devient $\boxed{11x+10y-68=0}$
$A(8;2)\in T$ $\iff 8a+2b+c=0$ $\iff c=-8a-2b$ donc $T:\; ax+by-8a-2b=0$ ou encore $T:\; a(x-8)+b(y-2)=0$ $$\begin{align*} &\text{$T$ tangente à $(c_1)$}\\ \iff &d(I_1,T)=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\\ \iff &\dfrac{\left|{a(\frac{5}{2}-8)+b(-3-2)}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\\ \iff &\left|{-\dfrac{11}{2}a-5b}\right|=\dfrac{\sqrt{221}}{2}\sqrt{a^2+b^2}\\ \iff &\left({\dfrac{11}{2}a+5b}\right)^2=\dfrac{221}{4}(a^2+b^2)\\ \iff &\dfrac{121}{4}a^2+55ab+25b^2=\dfrac{221}{4}a^2+\dfrac{221}{4}b^2\\ \iff &\dfrac{221-121}{4}a^2+\dfrac{221-100}{4}b^2-55ab=0\\ \iff &(5a)^2+2\times 5a\times \dfrac{11}{2}b+\left({\dfrac{11}{2}b}\right)^2=0\\ \iff &\left({5a-\dfrac{11}{2}b}\right)^2=0\\ \iff &5a-\dfrac{11}{2}b=0 \iff \boxed{a=\dfrac{11}{10}b} \end{align*}$$ Donc $T:\;\dfrac{11}{10}b(x-8)+b(y-2)=0$ $\iff b\left({\dfrac{11}{10}(x-8)+(y-2)}\right)=0$ $\iff \dfrac{11}{10}(x-8)+(y-2)=0$ car $b\neq 0$ sinon $a=\frac{11}{2}b=0$ aussi ce qui est impossible.
Après simplification l'équation de $T$ devient $\boxed{11x+10y-68=0}$
ii
Même méthode que (i)
iii
$(c_2)$ tangent à la droite $T$ parallèle à la droite $d$ d'équation $2x-9y+11=0$ $\iff T:\;2x-9y+c=0$ où $c$ est un réel à déterminer.
$(c_2)$ tangent à la droite $T$ $\iff d(I_2,T)=\sqrt{85}$ $\iff \dfrac{\left|{2\times (-1)-9\times 11+c}\right|}{\sqrt{2^2+(-9)^2}}=\sqrt{85}$ $\iff \dfrac{|-101+c|}{\sqrt{85}}=\sqrt{85}$ $\iff |-101+c|=85$ $\iff c-101=85$ ou $101-c=85$ $\iff c=186$ ou $c=16$
Donc deux tangentes à $(c_2)$ parallèle à $(d)$
$T_1:\;\; 2x-9y+186=0$
$T_2:\;\; 2x-9y+16=0$
$(c_2)$ tangent à la droite $T$ $\iff d(I_2,T)=\sqrt{85}$ $\iff \dfrac{\left|{2\times (-1)-9\times 11+c}\right|}{\sqrt{2^2+(-9)^2}}=\sqrt{85}$ $\iff \dfrac{|-101+c|}{\sqrt{85}}=\sqrt{85}$ $\iff |-101+c|=85$ $\iff c-101=85$ ou $101-c=85$ $\iff c=186$ ou $c=16$
Donc deux tangentes à $(c_2)$ parallèle à $(d)$
$T_1:\;\; 2x-9y+186=0$
$T_2:\;\; 2x-9y+16=0$