Suites : Exercice 5 2ème année secondaire
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86 exercices
Exercice 5 --- (id : 628)
correction
Rappel : Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison q ($q\neq 0$) et de premier terme $u_0$ alors :
🔶Pour tout entier naturel $n$; $u_n=u_0\times q^n$
🔶Pour tout entiers naturels $m$ et $n$ : $u_n=u_m\times q^{n-m}$
🔶Pour tout entiers naturels $n$ et $m$ tels que : $n\leqslant m$; $\sum\limits_{k=n}^{m}{u_k}=u_n\dfrac{1-q^{m-n+1}}{1-q}$ (où $q\neq 1$)
🔶Pour tout entier naturel $n$; $u_n=u_0\times q^n$
🔶Pour tout entiers naturels $m$ et $n$ : $u_n=u_m\times q^{n-m}$
🔶Pour tout entiers naturels $n$ et $m$ tels que : $n\leqslant m$; $\sum\limits_{k=n}^{m}{u_k}=u_n\dfrac{1-q^{m-n+1}}{1-q}$ (où $q\neq 1$)
1.
$v_{10}=v_5q^{10-5}=v_5q^5$ $\iff q^5=\dfrac{v_{10}}{v_5}=\dfrac{5120}{160}=32$ $\iff q^5=2^5$ $\iff \left({\dfrac{q}{2}}\right)^5=1$ $\iff \left({\dfrac{q}{2}}\right)^5-1=0$
On sait que pour réel $q$ ($q\neq 0$ et $q\neq 1$) et pour tout entier naturel n; $1+q+q^2+...+q^{n-1}=\dfrac{q^n-1}{q-1}$ $\iff q^n-1=(q-1)(1+q+q^2+...+q^{n-1})$ (vrai aussi pour $q=1$ )
Remplaçons $q$ par $\dfrac{q}{2}$ et prenons $n=5$ on obtient $\left({\dfrac{q}{2}}\right)^5-1=\left({\dfrac{q}{2}}-1\right)\left({1+\dfrac{q}{2} +\left({\dfrac{q}{2}}\right)^2+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^{4}}\right)$ en plus $1+\dfrac{q}{2}+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^2+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^{4}>0$ car $q>0$ donc :
$\left({\dfrac{q}{2}}\right)^5-1=0$ $\iff \dfrac{q}{2}-1=0$ $\iff q=2$
On sait que pour réel $q$ ($q\neq 0$ et $q\neq 1$) et pour tout entier naturel n; $1+q+q^2+...+q^{n-1}=\dfrac{q^n-1}{q-1}$ $\iff q^n-1=(q-1)(1+q+q^2+...+q^{n-1})$ (vrai aussi pour $q=1$ )
Remplaçons $q$ par $\dfrac{q}{2}$ et prenons $n=5$ on obtient $\left({\dfrac{q}{2}}\right)^5-1=\left({\dfrac{q}{2}}-1\right)\left({1+\dfrac{q}{2} +\left({\dfrac{q}{2}}\right)^2+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^{4}}\right)$ en plus $1+\dfrac{q}{2}+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^2+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^3+\left({\dfrac{q}{2}}\right)^{4}>0$ car $q>0$ donc :
$\left({\dfrac{q}{2}}\right)^5-1=0$ $\iff \dfrac{q}{2}-1=0$ $\iff q=2$
2.
$v_5=v_0q^5=v_0\times 2^5$ $\iff v_0=\dfrac{v_5}{2^5}$ $\iff v_0=\dfrac{160}{32}=5$
3.
$v_n=v_0q^n=5\times 2^n$
4.
$S=\sum\limits_{k=5}^{10}{v_k}=v_5\dfrac{1-2^{10-5+1}}{1-2}$ $\iff S=-5(1-2^6)=5(64-1)=315$