Suites : Exercice 27 2ème année secondaire
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86 exercices
Exercice 27 --- (id : 954)
correction
1
$U_1=\sqrt{2+U_0^2}$ $=\sqrt{2+1^2}=\sqrt{3}$
$U_2=\sqrt{2+U_1^2}=\sqrt{2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{5}$
$U_1-U_0=\sqrt{3}-1$ et $U_2-U_1=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ donc $U_2-U_1\neq U_1-U_0$ d'où $(U_n)$ n'est pas une suite géométrique.
$U_2=\sqrt{2+U_1^2}=\sqrt{2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{5}$
$U_1-U_0=\sqrt{3}-1$ et $U_2-U_1=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ donc $U_2-U_1\neq U_1-U_0$ d'où $(U_n)$ n'est pas une suite géométrique.
2
$V_{n+1}-V_n=U_{n+1}^2-U_n^2$ $=(2+U_n^2)-U_n^2=2$ donc $(V_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$
3
$(V_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $V_0=U_0^2=1$ donc
pour tout $n\in \Bbb N$, $V_n=V_0+nr=1+2n$
$V_n=1+2n$ $\iff U_n^2=1+2n$ $\iff U_n=\sqrt{1+2n}$ car $U_n>0$
$V_n=1+2n$ $\iff U_n^2=1+2n$ $\iff U_n=\sqrt{1+2n}$ car $U_n>0$