Suites : Exercice 28 2ème année secondaire

1 $$\begin{align*} &🔸n=1;\; \sum\limits_{k=1}^{1}{U_k}=U_1\\ &\iff U_1=\dfrac{1}{2}(3+2)=\dfrac{5}{2}\\ &🔸n=2;\; \sum\limits_{k=1}^{2}{U_k}=U_1+U_2=\dfrac{1}{2}(3\times2^2+2\times2)=8\\ &\iff U_2=8-U_1=8-\dfrac{5}{2}=\dfrac{11}{2}\\ &🔸n=3;\; \sum\limits_{k=1}^{3}{U_k}=U_1+U_2+U_3=\dfrac{1}{2}(3\times3^2+2\times3)=\dfrac{33}{2}\\ &\iff U_3=\sum\limits_{k=1}^{3}{U_k}-(U_1+U_2)=\dfrac{33}{2}-8=\dfrac{17}{2}\\ &🔸n=4;\; \sum\limits_{k=1}^{4}{U_k}=\sum\limits_{k=1}^{3}{U_k}+U_4=\dfrac{1}{2}(3\times4^2+2\times4)=28\\ &\iff U_4=28-\sum\limits_{k=1}^{3}{U_k}=28-\dfrac{33}{2}=\dfrac{23}{2}\\ &🔸n=5;\; \sum\limits_{k=1}^{5}{U_k}=\sum\limits_{k=1}^{4}{U_k}+U_5=\dfrac{1}{2}(3\times5^2+2\times5)=\dfrac{85}{2}\\ &\iff U_5=\dfrac{85}{2}-\sum\limits_{k=1}^{4}{U_k}=\dfrac{85}{2}-28=\dfrac{29}{2} \end{align*}$$ $U_1=\dfrac{5}{2};\;U_2=\dfrac{11}{2}$ $U_3=\dfrac{17}{2};\;U_4=\dfrac{23}{2}$ et $U_5=\dfrac{29}{2}$

2 $$\begin{align*} U_n&=\sum\limits_{k=1}^{n}{U_k}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{U_k}\\ &=\dfrac{1}{2}(3n^2+2n)-\dfrac{1}{2}(3(n-1)^2+2(n-1))\\ &=\dfrac{1}{2}(3n^2+2n-(3n^2-6n+3+2n-2))\\ &=\dfrac{1}{2}(\cancel{3n^2}+\bcancel{2n}-\cancel{3n^2}+6n-3-\bcancel{2n}+2)\\ &=\dfrac{1}{2}(6n-1)\\ &=3n-\dfrac{1}{2} \end{align*}$$ $U_{n+1}-U_n$ $=(3(n+1)-\dfrac{1}{2})-(3n-\dfrac{1}{2})$ $=3n+3-\dfrac{1}{2}-3n+\dfrac{1}{2}=3$ donc $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $3$