Suites : Exercice 31 2ème année secondaire

1 $U_1=\dfrac{U_0}{U_0+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$
$U_2=\dfrac{U_1}{U_1+1}$ $=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}$ $=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
$U_3=\dfrac{U_2}{U_2+1}$ $=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}$ $=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$
$U_1-U_0=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$
$U_2-U_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
$U_2-U_1\neq U_1-U_0$ donc $(U_n)$ n'est pas une suite arithmétique.

2 $T_0=\dfrac{1}{U_0}=\dfrac{1}{1}=1$
$T_1=\dfrac{1}{U_1}=\dfrac{1}{½}=2$
$T_2=\dfrac{1}{U_2}=\dfrac{1}{⅓}=3$
$T_{n+1}-T_n$ $=\dfrac{1}{U_{n+1}}-\dfrac{1}{U_n}$ $=\dfrac{U_n+1}{U_n}-\dfrac{1}{U_n}=\dfrac{U_n+1-1}{U_n}=\dfrac{U_n}{U_n}=1$ donc $(T_n)$ est une suite arithmétique de raison 1

3 $(T_n)$ est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $T_0=\dfrac{1}{U_0}=1$
$\boxed{T_n=T_0+nr=1+n}$
$T_n=\dfrac{1}{U_n}$ $\iff U_n=\dfrac{1}{T_n}$ $\iff \boxed{U_n=\dfrac{1}{n+1}}$
$U_3=\dfrac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4}$

4 $S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{T_k}$ $=\dfrac{n-0+1}{2}(T_0+T_n)$ $\iff S_n=\dfrac{n+1}{2}(1+n+1)$ $\iff S_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$