Suites : Exercice 23 2ème année secondaire
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86 exercices
Exercice 23 --- (id : 615)
correction
1
🔹$u_1=4u_0+9=4\times0+9=9$
🔹$u_2=4u_1+9=4\times9+9=45$
🔹$u_3=4u_2+9=4\times45+9=189$
$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{45}{9}=5$ et $\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{189}{45}=\dfrac{63}{15}$ donc $\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_3}{u_2}$ d'où $(u_n)$ n'est pas une suite géométrique
🔹$u_2=4u_1+9=4\times9+9=45$
🔹$u_3=4u_2+9=4\times45+9=189$
$\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{45}{9}=5$ et $\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{189}{45}=\dfrac{63}{15}$ donc $\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_3}{u_2}$ d'où $(u_n)$ n'est pas une suite géométrique
2
a
$v_{n+1}=u_{n+1}+3=4u_n+9+3=4u_n+12$
b
$v_{n+1}=4u_n+12=4(u_n+3)=4v_n$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=4$.
c
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $4$ et de premier terme $v_0=u_0+3=3$
donc pour tout entier naturel n, $v_n=v_0q^n$ $\iff \boxed{v_n=3\times 4^n}$
$v_n=v_0q^n=3\times 4^n$ $\iff u_n+3=3\times 4^n$ $\iff \boxed{u_n=3\times 4^n-3}$
$v_n=v_0q^n=3\times 4^n$ $\iff u_n+3=3\times 4^n$ $\iff \boxed{u_n=3\times 4^n-3}$
3
$S=v_0\dfrac{1-4^n}{1-4}$ $=3\dfrac{1-4^n}{-3}=4^n-1$
$S=v_0+v_1+v_2+...+v_{n-1}$ $\iff S=(u_0+3)+(u_1+3)+(u_2+3)+...+(u_{n-1}+3)$ $\iff S=(u_0+u_1+u_2+...+u_{n-1})+3n$ $\iff S=S'+3n$ $\iff S'=S-3n$ $\iff \boxed{S'=4^n-1-3n}$
$S=v_0+v_1+v_2+...+v_{n-1}$ $\iff S=(u_0+3)+(u_1+3)+(u_2+3)+...+(u_{n-1}+3)$ $\iff S=(u_0+u_1+u_2+...+u_{n-1})+3n$ $\iff S=S'+3n$ $\iff S'=S-3n$ $\iff \boxed{S'=4^n-1-3n}$