Suites : Exercice 21 2ème année secondaire
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Exercice 21 --- (id : 563)
correction
$U$ la suite définie sur $\Bbb N$ par : $U_n=3n+2$
1
$U_{n+1}-U_n$ $=(3(n+1)+2)-(3n+2)$ $=3n+3+2-3n-2$ $=3$ donc $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $U_0=3\times0+2=2$
2
$$\begin{align*}
S_n&=U_0+U_1+...+U_{n-1}\\
&=\dfrac{(n-1)-0+1}{2}(U_0+U_{n-1})\\
&=\dfrac{n}{2}(2+3(n-1)+2)\\
&=\dfrac{n}{2}(4+3n-3)\\
&=\dfrac{n(3n+1)}{2}\\
&=\dfrac{3n^2+n}{2}
\end{align*}$$
3
$S_n=40$ $\iff \dfrac{3n^2+n}{2}=40$ $\iff 3n^2+n=80$ $\iff 3n^2+n-80=0$ or $\Delta=1^2+4\times3\times80=961$ et $\sqrt \Delta=31$ donc $n=\dfrac{-1+31}{6}$ ou $n=\dfrac{-1-31}{6}$ $\iff n=5$ ou $n=-\dfrac{16}{3}\notin \Bbb N$ $\iff \boxed{n=5}$
4Trois termes consécutifs sont de la forme $U_n,\;U_{n+1}\;et\;U_{n+2}$.
$$\begin{align*}
&U_n+U_{n+1}+U_{n+2}=60\\
\iff &(3n+2)+(3(n+1)+2)+(3(n+2)+2)=60\\
\iff &3n+2+3n+3+2+3n+6+2=60\\
\iff &9n+15=60\\
\iff &9n=60-15=45\\
\iff &n=\dfrac{45}{9}\iff \boxed{n=5}\\
Donc\;\;&U_5+U_6+U_7=60
\end{align*}$$