Trigonométrie : Exercice 11 2ème année secondaire
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Exercice 11 --- (id : 911)
correction
1
Soit $h$ la Longueur de la hauteur opposée à l'angle $\gamma$
$h=b\sin \gamma$ donc $𝒜=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{a.b\sin \gamma}{2}$
$h=b\sin \gamma$ donc $𝒜=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{a.b\sin \gamma}{2}$
2
De même on peut montrer que $𝒜=\dfrac{bc\sin \alpha}{2}=\dfrac{ac\sin \beta}{2}$ ainsi on a :
$𝒜=\dfrac{a.b\sin \gamma}{2}=\dfrac{bc\sin \alpha}{2}=\dfrac{ac\sin \beta}{2}$
Donc $\left\{{\begin{aligned}&{ab\sin \gamma=bc\sin \alpha}\\&{ab\sin \gamma=ac\sin \beta}\end{aligned}}\right. $ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin \alpha}{a}}\\&{\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin \beta}{b}}\end{aligned}}\right.$ d'où
$\dfrac{\sin \alpha}{a}=\dfrac{\sin \beta}{b}=\dfrac{\sin \gamma}{c}$
$𝒜=\dfrac{a.b\sin \gamma}{2}=\dfrac{bc\sin \alpha}{2}=\dfrac{ac\sin \beta}{2}$
Donc $\left\{{\begin{aligned}&{ab\sin \gamma=bc\sin \alpha}\\&{ab\sin \gamma=ac\sin \beta}\end{aligned}}\right. $ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin \alpha}{a}}\\&{\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin \beta}{b}}\end{aligned}}\right.$ d'où
$\dfrac{\sin \alpha}{a}=\dfrac{\sin \beta}{b}=\dfrac{\sin \gamma}{c}$