Trigonométrie : Exercice 15 2ème année secondaire
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24 exercices
Exercice 15 --- (id : 454)
correction
Rappels
🔸 $\sin 0=0$ ; $\cos 0=1$ ; $\sin \dfrac{\pi}{2}=1$ et $\cos \dfrac{\pi}{2}=0$
🔸 $\sin^2x=1-\cos^2x$
🔸 $\sin \dfrac{\pi}{3}=\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
🔸 Pour tout réel $x$ ; $\sin(\pi-x)=\sin x$ et $\sin\left({\dfrac{\pi}{2}-x}\right)=\cos x$
1
🔸$f(0)=\sin^30 +\cos^20-\dfrac{3}{4}\sin 0-\dfrac{1}{4}$ $=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
🔸$f\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)=\sin^3\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)+\cos^2\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)-\dfrac{3}{4}\sin \left({\dfrac{\pi}{2}}\right)-\dfrac{1}{4}$ $=1-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=0$
🔸$f\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)=\sin^3\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)+\cos^2\left({\dfrac{\pi}{2}}\right)-\dfrac{3}{4}\sin \left({\dfrac{\pi}{2}}\right)-\dfrac{1}{4}$ $=1-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=0$
2
a
$$\begin{align*}
&\left({\sin^2x-\dfrac{3}{4}}\right)\left({\sin x-1}\right)\\
&=\sin^3x-\sin^2x-\dfrac{3}{4}\sin x+\dfrac{3}{4}\\
&=\sin^3x-(1-\cos^2x)-\dfrac{3}{4}\sin x+\dfrac{3}{4}\\
&=\sin^3x-1+\cos^2x)-\dfrac{3}{4}\sin x+\dfrac{3}{4}\\
&=\sin^3x+\cos^2x-\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\\
&=f(x)
\end{align*}$$
b
Soit $x\in \left[{0;\pi}\right]$
$f(x)=0$ $\iff \sin^2x-\dfrac{3}{4}=0$ ou $\sin x-1=0$ $\iff \sin^2x=\dfrac{3}{4}$ ou $\sin x=1$ $\iff \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\sin x=1$ $\iff$ ($x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$) ou $x=\dfrac{\pi}{2}$
$f(x)=0$ $\iff \sin^2x-\dfrac{3}{4}=0$ ou $\sin x-1=0$ $\iff \sin^2x=\dfrac{3}{4}$ ou $\sin x=1$ $\iff \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\sin x=1$ $\iff$ ($x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$) ou $x=\dfrac{\pi}{2}$
3
$$\begin{align*}
A&=\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{13\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{5\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{11\pi}{16}}\right)\\
&=\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\pi-\dfrac{3\pi}{16}}\right)\sin^2\left({\dfrac{5\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\pi-\dfrac{5\pi}{16}}\right)\\
&=\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{5\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{5\pi}{16}}\right)\\
&=2\left({\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\sin^2\left({\dfrac{5\pi}{16}}\right)}\right)\\
&=2\left({\sin^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\cos^2\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)}\right)\\
&=2
\end{align*}$$