Trigonométrie : Exercice 16 2ème année secondaire
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24 exercices
Exercice 16 --- (id : 804)
correction
1
Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$
Donc $\quad\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{AH}{b}$ $\iff AH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}b$ $\quad (*)$
Le triangle $AHB$ est rectangle en $H$
Donc $\quad \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{c}$ $\iff AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$ $\quad (**)$
(*) et (**) $\Longrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$ $\iff AC=b=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\;c$
Donc $\quad\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{AH}{b}$ $\iff AH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}b$ $\quad (*)$
Le triangle $AHB$ est rectangle en $H$
Donc $\quad \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{c}$ $\iff AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$ $\quad (**)$
(*) et (**) $\Longrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$ $\iff AC=b=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\;c$
2
a
$\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{BH}{c}$ donc $BH=\dfrac{1}{2}c$
$\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{CH}{b}$ donc $CH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}b$ $\iff CH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$
Donc $\quad BC=BH+CH=\dfrac{1}{2}c+\dfrac{\sqrt{3}}{2}c=c\left({\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}\right)$
$\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{CH}{b}$ donc $CH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}b$ $\iff CH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$
Donc $\quad BC=BH+CH=\dfrac{1}{2}c+\dfrac{\sqrt{3}}{2}c=c\left({\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}\right)$
b
Dans le triangle $ABC$ on a : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi$ donc
$\widehat{BAC}=\widehat{A}=\pi-\widehat{B}-\widehat{C}=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{12\pi-4\pi-3\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{12}$
c
On a : $b=AC=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}c$ et $a=BC=c\left({\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}\right)$
D'après la loi des sinus on a : $\dfrac{\sin\widehat{BAC}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{ABC}}{b}$ $\iff \sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{a}{b}\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{c\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}{c\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
D'après la loi des sinus on a : $\dfrac{\sin\widehat{BAC}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{ABC}}{b}$ $\iff \sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{a}{b}\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{c\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}{c\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\iff \sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
d
🔸 $\dfrac{5\pi}{12}\in \left[{0;\dfrac{\pi}{2}}\right]$ donc $\cos\dfrac{5\pi}{12}\geqslant 0$
$$\begin{align*}
\cos^2\dfrac{5\pi}{12}&=1-\sin^2 \dfrac{5\pi}{12}\\
&=1-\left({\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\right)^2\\
&=1-\dfrac{8+2\sqrt{12}}{16}\\
&=\dfrac{16-8-4\sqrt{3}}{16}\\
&=\dfrac{8-4\sqrt{3}}{16}\\
&=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{8}\\
&=\dfrac{\left({\sqrt{3}-1}\right)^2}{(2\sqrt{2})^2}\\
&=\left({\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}\right)^2
\end{align*}$$
Donc $\quad \cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
🔸 $\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\left({\pi-\dfrac{5\pi}{12}}\right)$ $=-\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
🔸 $\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
🔸 $\cos\dfrac{7\pi}{12}=\cos\left({\pi-\dfrac{5\pi}{12}}\right)$ $=-\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
🔸 $\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}$ donc $\cos\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
