Trigonométrie : Exercice 7 2ème année secondaire
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24 exercices
Exercice 7 --- (id : 836)
correction
1
a
$$\begin{align*}
F(x)&=\cos^3x-\sin^2x-\dfrac{1}{4}\cos x+\dfrac{3}{4}\\
&=\cos^3x-(1-\cos^2x)-\dfrac{1}{4}\cos x+\dfrac{3}{4}\\
&=\cos^3x+\cos^2x-\dfrac{1}{4}\cos x-\dfrac{1}{4}\\
&=\cos^2x(\cos x+1)-\dfrac{1}{4}(\cos x+1)\\
&=(\cos^2x-\dfrac{1}{4})(\cos x+1)
\end{align*}$$
b Soit $x\in [0,\pi]$ tel que :
$$\begin{align*}
&F(x)=0\\
&\iff (\cos^2x-\dfrac{1}{4})(\cos x+1)=0\\
&\iff \cos^2x-\dfrac{1}{4}=0\;ou\;\cos x+1=0\\
&\iff \cos^2x)-\dfrac{1}{4}=0\; ou \;\cos x=-1\\
&\iff (\cos x-\dfrac{1}{2})(\cos x+\dfrac{1}{2})=0\; ou \;x=\pi\\
&\iff \cos x-\dfrac{1}{2}=0\;ou\;\cos x+\dfrac{1}{2}=0\;ou\;x=\pi\\
&\iff \cos x=\dfrac{1}{2}\;ou\;\cos x=-\dfrac{1}{2}\;ou\;x=\pi\\
&\iff x=\dfrac{\pi}{3}\;ou\;x=\dfrac{2\pi}{3}\;ou\;x=\pi\\
&Donc\;\;\;\boxed{S_{[0;\pi]}=\left\{{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\pi}\right\}}
\end{align*}$$
2
$$\begin{align*}
A&=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\dfrac{5\pi}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}\\
&=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\left({\pi-\dfrac{3\pi}{8}}\right)+\cos^2\left({\pi-\dfrac{\pi}{8}}\right)\\
&=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\left({-\cos\left({\dfrac{3\pi}{8}}\right)}\right)^2+\left({-\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)}\right)^2\\
&=2\left({\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}}\right)\\
&=2\left({\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\sin^2\dfrac{\pi}{8}}\right)\;\;(car\;\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2})\\
&=2\times 1=2
\end{align*}$$