Trigonométrie : Exercice 6 2ème année secondaire
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24 exercices
Exercice 6 --- (id : 839)
correction
1
D'après la formule d'Alkashi :
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos\widehat{BAC}$
$\iff BC^2=a^2+a^2-2a^2\cos\left({\dfrac{3\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2-2a^2\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2+2a^2\cos\left({\dfrac{\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2+2a^2.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff BC^2=a^2(2+\sqrt{2})$
$\iff \boxed{BC=a\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos\widehat{BAC}$
$\iff BC^2=a^2+a^2-2a^2\cos\left({\dfrac{3\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2-2a^2\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2+2a^2\cos\left({\dfrac{\pi}{4}}\right)$
$\iff BC^2=2a^2+2a^2.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff BC^2=a^2(2+\sqrt{2})$
$\iff \boxed{BC=a\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
2
a
On sait que $\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=\pi$
Or le triangle $ABC$ est isocèle en A donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
D'où $\widehat{BAC}+2\widehat{ABC}=\pi$ $\iff \widehat{ABC}=\dfrac{\pi-\widehat{BAC}}{2}$ $\iff \widehat{ABC}=\dfrac{\pi-\dfrac{3\pi}{4}}{2}$ $\iff \boxed{\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{8}}$
Or le triangle $ABC$ est isocèle en A donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
D'où $\widehat{BAC}+2\widehat{ABC}=\pi$ $\iff \widehat{ABC}=\dfrac{\pi-\widehat{BAC}}{2}$ $\iff \widehat{ABC}=\dfrac{\pi-\dfrac{3\pi}{4}}{2}$ $\iff \boxed{\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{8}}$
b
Soit $H$ le milieu de $[BC]$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ alors $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\dfrac{BC}{2}}{AB}$ $\iff \cos\widehat{ABC}=\dfrac{BC}{2AB}$ $\iff \cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2a}$ $\iff \boxed{\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$
$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos\widehat{ABC}$
$\iff a^2=a^2+a^2(2+\sqrt{2})-2.a.a\sqrt{2+\sqrt{2}}.\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff a^2(2+\sqrt{2})=2.a^2\sqrt{2+\sqrt{2}}.\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff 2+\sqrt{2}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff \sqrt{2+\sqrt{2}}=2\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff \cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc le triangle $AHB$ est rectangle en $H$ alors $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\dfrac{BC}{2}}{AB}$ $\iff \cos\widehat{ABC}=\dfrac{BC}{2AB}$ $\iff \cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2a}$ $\iff \boxed{\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$
Autrement :
D'après la formule d'Alkashi :$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos\widehat{ABC}$
$\iff a^2=a^2+a^2(2+\sqrt{2})-2.a.a\sqrt{2+\sqrt{2}}.\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff a^2(2+\sqrt{2})=2.a^2\sqrt{2+\sqrt{2}}.\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff 2+\sqrt{2}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff \sqrt{2+\sqrt{2}}=2\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)$
$\iff \cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
3
$\sin\left({\dfrac{3\pi}{8}}\right)=\sin\left({\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}}\right)$ $=\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
$\sin\left({\dfrac{5\pi}{8}}\right)=\sin\left({\pi-\dfrac{3\pi}{8}}\right)$ $=\sin\left({\dfrac{3\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
$\cos\left({\dfrac{7\pi}{8}}\right)=\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{8}}\right)$ $=-\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
$\sin\left({\dfrac{5\pi}{8}}\right)=\sin\left({\pi-\dfrac{3\pi}{8}}\right)$ $=\sin\left({\dfrac{3\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
$\cos\left({\dfrac{7\pi}{8}}\right)=\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{8}}\right)$ $=-\cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
