Equations et inéquations : Exercice 17 première année secondaire

1) $A=(x+1)(-x^2+3)+x^3+1$
$$\begin{align*} ❖ \text{Pour}\;\; x&=0; A=4 \\ ❖ \text{Pour}\;\; x&=-1;\\ A&=(-1+1)(-1+3)-1+1=0 \end{align*}$$

2) $x^3+1=x^3+1^3$ $=(x+1)(x^2-x+1)$

3) $$\begin{align*} A&=(x+1)(-x^2+3)+x^3+1 \\ &=(x+1)(-x^2+3)+(x+1)(x^2-x+1) \\ &=(x+1)\left[{(-x^2+3+x^2-x+1)}\right] \\ &=(x+1)(-x+4) \end{align*}$$

4) $$\begin{align*} &(x+1)(-x^2+3)+x^3=-1 \\ &\text{équivaut}\;\; (x+1)(-x^2+3)+x^3+1=0 \\ &\text{équivaut}\;\; A=0 \\ &\text{équivaut}\;\; (x+1)(4-x)=0 \\ &\text{équivaut}\;\; x+1=0\;  ou  \;4-x=0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-1\;  ou  \;x=4 \end{align*}$$ $(x+1)(-x+4)\geqslant 0$ $$\small{\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  & -\infty & & -1 & & 4 & & +\infty \\ \hline x+1 & & - & 0 &+ & &+  \\ \hline -x+4 &  & +  &  &+  & 0 &-  \\ \hline  (x+1)(-x+4)  & & - & 0 &+ & 0 &-  \\ \hline \end{array}}$$ Donc L'ensemble des solutions est l'intervalle $\left[{-1;4}\right]$