Equations et inéquations : Exercice 15 première année secondaire
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Exercice 15 --- (id : 1532)
correction
1)
$(x+1)(5x+2)$ $=5x^2+2x+5x+2$ $=5x^2+7x+2=A(x)$
Autrement $$\begin{align*} A(x)&=5\left({x^2+\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}}\right)\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{7}{10}}\right)^2+\frac{40}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\frac{9}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{3}{10}}\right)^2}\right]\\ &=5\left({x+\frac{7}{10}+\frac{3}{10}}\right)\left({x+\frac{7}{10}-\frac{3}{10}}\right)\\ &=5\left({x+1}\right)\left({x+\frac{2}{5}}\right)\\ &=(x+1)(5x+2) \end{align*}$$
Autrement $$\begin{align*} A(x)&=5\left({x^2+\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}}\right)\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{7}{10}}\right)^2+\frac{40}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\frac{9}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{3}{10}}\right)^2}\right]\\ &=5\left({x+\frac{7}{10}+\frac{3}{10}}\right)\left({x+\frac{7}{10}-\frac{3}{10}}\right)\\ &=5\left({x+1}\right)\left({x+\frac{2}{5}}\right)\\ &=(x+1)(5x+2) \end{align*}$$
2)
$$\begin{align*}
&🔶A(x)=2 \\
&\text{équivaut}\;\; 5x^2+7x+2=2 \\
&\text{équivaut}\;\; 5x^2+7x=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x(5x+7)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=0\; ou \;5x+7=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=0\; ou \;x=-\frac{7}{5} \\
&🔶A(x)=-5x-2 \\
&\text{équivaut}\;\; (x+1)(5x+2)+(5x+2)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (5x+2)\left[{(x+1)+1}\right]=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (5x+2)(x+2)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; 5x+2=0\; ou \;x+2=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5}\; ou \;x=-2 \\
&🔶A(x)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (5x+2)(x+1)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; 5x+2=0\; ou \;x+1=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5}\; ou \;x=-1
\end{align*}$$
3)
$$\begin{align*}
&A(x)>0\;\; \text{équivaut}\;\; (5x+2)(x+1)>0 \\
& 5x+2=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5} \\
& x+1=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-1
\end{align*}$$
$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & -\frac{2}{5} & & +\infty \\
\hline
x+1 & & - & 0 &+ & &+ \\
\hline
5x+2 & & - & &- & 0 &+ \\
\hline
(5x+2)(x+1) & & + & 0 &- & 0 &+ \\
\hline
\end{array}$$
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x)>0$ est :
$S_\Bbb R=\left]{-\infty;-1}\right[\cup\left]{-\frac{2}{5};+\infty}\right[$
$S_\Bbb R=\left]{-\infty;-1}\right[\cup\left]{-\frac{2}{5};+\infty}\right[$
4)
$$\begin{align*}
& 🔶A(x)+B(x)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (x+1)(5x+2)+(-3x-2)(5x+2)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (5x+2)\left[{(x+1)+(-3x-2)}\right]=0 \\
&\text{équivaut}\;\; (5x+2)(-2x-1)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; 5x+2=0\; ou \;-2x-1=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5}\; ou \;x=-\frac{1}{2} \\
&A(x)+B(x)\leqslant 0\; \text{équivaut}\;\; (5x+2)(-2x-1)\leqslant 0 \\
\\
& 5x+2=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5} \\
& -2x-1=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-\frac{1}{2}
\end{align*}$$
$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -\frac{1}{2} & & -\frac{2}{5} & & +\infty \\
\hline
-2x-1 & &+& 0 &-& &- \\
\hline
5x+2 & &-& &-& 0 &+ \\
\hline
(5x+2)(-2x-1)& &-& 0 &+& 0 &- \\
\hline
\end{array}$$
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x)+B(x)\leqslant 0$ est : $S_\Bbb R=\left]{-\infty;-\frac{1}{2}}\right]\cup\left[{-\frac{2}{5};+\infty}\right[$