Equations et inéquations : Exercice 19 première année secondaire

a) $$\begin{align*} &🔶    \frac{2}{3}x-\frac{5}{4}=\frac{1}{2}x+1 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2}{3}x-\frac{1}{2}x=1+\frac{5}{4} \\ &\text{équivaut}\;\; \left({\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}\right)x=\frac{9}{4} \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{1}{6}x=\frac{9}{4} \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{6\times9}{4}=\frac{27}{2} \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{\frac{27}{2}}\right\}} \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &🔶    \left|{2x-1}\right|=7 \\ &\text{équivaut}\;\; 2x-1=7\;  ou  \;2x-1=-7 \\ &\text{équivaut}\;\; 2x=8\;ou\;2x=-6 \\ &\text{équivaut}\;\; x=4\; ou\; x=-3 \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{-3;4}\right\}} \end{align*}$$

c) $$\begin{align*} &🔶    1-3x>x+5 \\ &\text{équivaut}\;\; -3x-x>5-1 \\ &\text{équivaut}\;\; -4x>4 \\ &\text{équivaut}\;\; x<\frac{4}{-4}=-1 \\ &\text{équivaut}\;\; \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-1}\right[} \end{align*}$$

a) $$\begin{align*} A(x)&=x^2-2x=x(x-2) \\ B(x)&=x^2-4 \\ &=x^2-2^2=(x-2)(x+2) \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} C(x)&=A(x)-B(x) \\ &=x(x-2)-(x-2)(x+2) \\ &(x-2)\left[{x-(x+2)}\right] \\ &(x-2)(-2)=-2(x-2) \end{align*}$$

c) $$\begin{align*} &🔶    C(x)<0 \\ &\text{équivaut}\;\; -2(x-2)<0 \\ &\text{équivaut}\;\; x-2>0 \\ &\text{équivaut}\;\; x>2 \\ &\text{équivaut}\;\; x\in \left]{2,+\infty}\right[ \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left]{2,+\infty}\right[} \end{align*}$$