Equations et inéquations : Exercice 23 première année secondaire
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81 exercices
Exercice 23 --- (id : 1605)
correction
$A(x)=x^3-27+3(x-3)^2$
1)
Rappel
Pour tous réels a et b
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $$\begin{align*} A(x)&=x^3-27+3(x-3)^2 \\ &= x^3-3^3+3(x-3)^2 \\ &=(x-3)(x^2+3x+9)+3(x-3)^2 \\ &=(x-3)(x^2+3x+9+3(x-3)) \\ &=(x-3)(x^2+3x+9+3x-9) \\ &=(x-3)(x^2+6x) \\ &= x(x-3)(x+6) \end{align*}$$
Pour tous réels a et b
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $$\begin{align*} A(x)&=x^3-27+3(x-3)^2 \\ &= x^3-3^3+3(x-3)^2 \\ &=(x-3)(x^2+3x+9)+3(x-3)^2 \\ &=(x-3)(x^2+3x+9+3(x-3)) \\ &=(x-3)(x^2+3x+9+3x-9) \\ &=(x-3)(x^2+6x) \\ &= x(x-3)(x+6) \end{align*}$$
2)
$$\begin{align*}
&A(x)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x(x-3)(x+6)=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=0\; ou \; x-3=0\; ou \; x+6=0 \\
&\text{équivaut}\;\; x=0\; ou \; x=3\; ou \; x=-6
\end{align*}$$
3)
a) Tableau de signe de $A(x)$
$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
x & -\infty & &-6 & & 0 & & 3 & & +\infty \\ \hline
x & & - & & - & 0 & + & & + \\ \hline
x-3 & & - & & - & & - & 0 & + \\ \hline
x+6 & & - & 0 & + & & + & & + \\ \hline
A(x)& & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
\end{array}$$
b)
$\boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-6}\right]\cup\left[{0;3}\right]}$
4)
$2019\in \left[{3;+\infty}\right[$ donc $A(2019)\geqslant 0$ (voir tableau de signe)