Equations et inéquations : Exercice 21 première année secondaire
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Exercice 21 --- (id : 1602)
correction
Soit $f(x)=x^2-9$ et $g(x)=(x+3)(5-3x)$
1-
🌻$f(-3)=(-3)^2-9=9-9=0$
🌻$g(-3)=(-3+3)(5-3\times(-3))$ $=0\times 14=0$
🌻$f(-3)=(-3)^2-9=9-9=0$
🌻$g(-3)=(-3+3)(5-3\times(-3))$ $=0\times 14=0$
2-
a-
🌻$f(x)=x^2-9=x^2-3^2$ $=(x-3)(x+3)$
🌻$f(x)+g(x)$
$=(x-3)(x+3)+(x+3)(5-3x)$
$=(x+3)[(x-3)+(5-3x)]$
$=(x+3)(x-3+5-3x)$
$=(x+3)(2-2x)$
🌻$f(x)+g(x)$
$=(x-3)(x+3)+(x+3)(5-3x)$
$=(x+3)[(x-3)+(5-3x)]$
$=(x+3)(x-3+5-3x)$
$=(x+3)(2-2x)$
b-
🌻$f(x)=0$
$\iff (x-3)(x+3)=0$
$\iff x-3=0$ ou $x+3=0$
$\iff x=3\; ou\; x=-3$
🌻$f(x)+g(x)=0$
$\iff (x+3)(2-2x)=0$
$\iff x+3=0 \; ou \; 2-2x=0$
$\iff x=-3 \; ou \; -2x=-2$
$\iff x=-3 \; ou \; x=1$
$\iff (x-3)(x+3)=0$
$\iff x-3=0$ ou $x+3=0$
$\iff x=3\; ou\; x=-3$
🌻$f(x)+g(x)=0$
$\iff (x+3)(2-2x)=0$
$\iff x+3=0 \; ou \; 2-2x=0$
$\iff x=-3 \; ou \; -2x=-2$
$\iff x=-3 \; ou \; x=1$
3-
a-
$$\small \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -3 & & 3 & & +\infty \\ \hline
x+3 & & - & 0 & + & & + \\ \hline
x-3 & & - & & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
\end{array}$$
b-
$\sqrt 2\in \left]{-3;3}\right[$ donc $f(\sqrt 2)<0$ (voir tableau de signe)
4-
a-
$$\small \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\ \hline
x+3 & & - & 0 & + & & + \\ \hline
2-2x & & + & & + & 0 & - \\ \hline
f(x)+g(x) & & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline
\end{array}$$
b-D'après le tableau de signe précédent on a :
$f(x)+g(x)<0$ $\iff x\in \left]{-\infty;-3}\right[\cup \left]{1;+\infty}\right[$
Donc $\boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-3}\right[\cup \left]{1;+\infty}\right[}$
Donc $\boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-3}\right[\cup \left]{1;+\infty}\right[}$