Activités numériques II : Exercice 16 première année secondaire
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119 exercices
Exercice 16 --- (id : 1096)
correction
$A=-2\sqrt{8}+2\sqrt{18}+3$ et $B=\dfrac{\sqrt{30}\sqrt{21}}{\sqrt{35}\sqrt{2}}-2\sqrt{2}$
1
$$\begin{align*}
A&=-2\sqrt{4\times2}+2\sqrt{9\times2}+3\\
&=-2\times2\sqrt{2}+2\times3\sqrt{2}+3\\
&=-4\sqrt{2}+6\sqrt{2}+3\\
&=2\sqrt{2}+3=3+2\sqrt{2}\\
&\\
B&=\dfrac{\sqrt{30}\sqrt{21}}{\sqrt{35}\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2\times3\times5}\sqrt{3\times7}}{\sqrt{5\times7}\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{7}}{\sqrt{5}\sqrt{7}\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\\
&=\sqrt{3}^2-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}.
\end{align*}$$
2
$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}=B$
3
$A^2+B^2=(3+2\sqrt{2})^2+(3-2\sqrt{2})^2$ $=9+4\sqrt{2}+8+9-4\sqrt{2}+8$ $=34$
$\dfrac{B}{A}+\dfrac{A}{B}$ $=\dfrac{B^2+A^2}{AB}$ $=\dfrac{34}{1}=34$ (car $\dfrac{1}{A}=B\Longrightarrow AB=1$)
$\dfrac{B}{A}+\dfrac{A}{B}$ $=\dfrac{B^2+A^2}{AB}$ $=\dfrac{34}{1}=34$ (car $\dfrac{1}{A}=B\Longrightarrow AB=1$)
4
$A^{2018}B^{2019}=(AB)^{2018}B$ $=1^{2018}\times B=B=3-2\sqrt{2}$