Activités numériques II : Exercice 21 première année secondaire
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119 exercices
Exercice 21 --- (id : 1131)
correction
1
$$\begin{align*}
a&=\dfrac{\sqrt{80}}{4}+\sqrt{9}-\sqrt{20}\\
&=\dfrac{\sqrt{16\times5}}{4}+3-\sqrt{4\times5}\\
&=\dfrac{4\sqrt{5}}{4}+3-2\sqrt{5}\\
&=\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}=\boxed{3-\sqrt{5}}
\end{align*}$$
2
$$\begin{align*}
ab&=\left({3-\sqrt{5}}\right)\left({3+\sqrt{5}}\right)\\
&=3^2-\sqrt{5}^2=9-5=4\\
\iff &\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{4}\iff \dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{4}\\
\iff & \text{l'inverse de a est :}\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}
\end{align*}$$
3
On remplace $x$ par $3+\sqrt{5}$
$\left({3+\sqrt{5}}\right)^2-5\left({3+\sqrt{5}}\right)+1$ $=9+6\sqrt{5}+5-15-5\sqrt{5}+1$ $=15-15+6\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\sqrt{5}$ donc $b=3+\sqrt{5}$ est une solution de l'équation $x^2-5x+1=\sqrt{5}$
$\left({3+\sqrt{5}}\right)^2-5\left({3+\sqrt{5}}\right)+1$ $=9+6\sqrt{5}+5-15-5\sqrt{5}+1$ $=15-15+6\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\sqrt{5}$ donc $b=3+\sqrt{5}$ est une solution de l'équation $x^2-5x+1=\sqrt{5}$